Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

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diff --git a/buch/papers/laguerre/Makefile b/buch/papers/laguerre/Makefile
index 0f0985a..85a1b83 100644
--- a/buch/papers/laguerre/Makefile
+++ b/buch/papers/laguerre/Makefile
@@ -3,9 +3,42 @@
 #
 # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller
 #
+IMGFOLDER := images
+PRESFOLDER := presentation
 
-images: images/laguerre_polynomes.pdf
+FIGURES := \
+	images/targets.pdf \
+	images/rel_error_complex.pdf \
+	images/estimates.pdf \
+	images/integrand.pdf \
+	images/integrand_exp.pdf \
+	images/laguerre_poly.pdf \
+	images/rel_error_mirror.pdf \
+	images/rel_error_range.pdf \
+	images/rel_error_shifted.pdf \
+	images/rel_error_simple.pdf \
+	images/gammaplot.pdf
 
-images/laguerre_polynomes.pdf: scripts/laguerre_plot.py
-	python3 scripts/laguerre_plot.py
+.PHONY: all
+all: images presentation
 
+.PHONY: images
+images: $(FIGURES)
+
+.PHONY: presentation
+presentation: $(PRESFOLDER)/presentation.pdf
+
+images/%.pdf images/%.pgf: scripts/%.py scripts/gamma_approx.py
+	python3 $<
+
+images/gammaplot.pdf: images/gammaplot.tex images/gammapaths.tex
+	cd $(IMGFOLDER) && latexmk -quiet -pdf gammaplot.tex
+
+$(PRESFOLDER)/%.pdf: $(PRESFOLDER)/%.tex $(FIGURES)
+	cd $(PRESFOLDER) && latexmk -quiet -pdf $(<F)
+
+.PHONY: clean
+clean:
+	rm $(FIGURES)
+	cd $(IMGFOLDER) && 	latexmk -C
+	cd $(PRESFOLDER) && latexmk -C
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
index 12b0935..39b5d6f 100644
--- a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
@@ -10,6 +10,4 @@ dependencies-laguerre =						\
 	papers/laguerre/definition.tex					\
 	papers/laguerre/eigenschaften.tex				\
 	papers/laguerre/quadratur.tex				\
-	papers/laguerre/gamma.tex					
-
-
+	papers/laguerre/gamma.tex
diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index d111f6f..61549e0 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -3,35 +3,58 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Definition
+\section{Herleitung%
+  % \section{Einleitung
+  % \section{Definition
   \label{laguerre:section:definition}}
-\rhead{Definition}
-Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
+\rhead{Definition}%
+In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome
+aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten.
+Zudem werden wir die Lösung auf die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten.
+Im Anschluss soll dann noch die Orthogonalität dieser Polynome bewiesen werden.
+
+\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
+Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
 \begin{align}
 x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 =
 0
 , \quad
-n \in \mathbb{N}_0
+n \in \mathbb{N}
 , \quad
 x \in \mathbb{R}
-.
 \label{laguerre:dgl}
+.
 \end{align}
+Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung
+zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
+aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
-Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
-weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
-aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
-Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
-Potenzreihenansatz.
-Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
-erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
-Setzt man nun den Ansatz
+
+\subsection{Potenzreihenansatz%
+\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}}
+Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
+weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
+Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
+Wir stellen die Vermutung auf,
+dass die Lösungen orthogonale Polynome sind.
+Die Orthogonalität der Lösung werden wir im
+Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen.
+Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund
+der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz.
+Der Potenzreihenansatz ist gegeben als
+% Da wir bereits wissen, 
+% dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
+% erscheint dieser Ansatz sinnvoll. 
 \begin{align*}
 y(x)
  & =
 \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
-\\
+% \\
+.
+\end{align*}
+Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir
+\begin{align*}
 y'(x)
  & =
 \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
@@ -43,8 +66,16 @@ y''(x)
 \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
+.
 \end{align*}
-in die Differentialgleichung ein, erhält man:
+
+\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung}
+Setzt man nun den Potenzreihenansatz in
+\eqref{laguerre:dgl}
+%die Differentialgleichung 
+ein,
+% erhält man
+resultiert
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
 +
@@ -61,18 +92,21 @@ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
 0.
 \end{align*}
 Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
-\begin{align*}
+\begin{align}
 a_{k+1}
  & =
 \frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
-\end{align*}
+\label{laguerre:rekursion}
+\end{align}
 ableiten.
 Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
 $n$,
 denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
-Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich,
+Aus %der Rekursionsbeziehung 
+\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich,
 dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
-Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
+Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten
+% $a_1, a_2, a_3$
 \begin{align*}
 a_1
 =
@@ -102,8 +136,10 @@ k & >n:
   &
 a_k
   & =
-0.
+0
+.
 \end{align*}
+Die Koeffizienten wechseln also für $k \leq n$ das Vorzeichen.
 Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n(x)
@@ -111,29 +147,45 @@ L_n(x)
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
 \label{laguerre:polynom}
 \end{align}
-und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
+und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n^\nu(x)
 =
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
 \label{laguerre:allg_polynom}
 \end{align}
+Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+% \scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
+\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\label{laguerre:fig:polyeval}
+\end{figure}
 
 \subsection{Analytische Fortsetzung}
-Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
-Differentialgleichung mit der Form
+Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der
+Differentialgleichung erhalten.
+Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung
+die Form
 \begin{align*}
 \Xi_n(x)
 =
-L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+.
 \end{align*}
-Nach einigen mühsamen Rechnungen,
-die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
+Eine Herleitung dazu lässt sich im
+Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}
+im ersten Teil des Buches finden.
+Nach einigen aufwändigen Rechnungen,
+% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
+die den Rahmen dieses Kapitels sprengen würden,
 erhalten wir
 \begin{align*}
 \Xi_n
 =
-L_n(x) \ln(x)
+L_n(x) \log(x)
 +
 \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
 (\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
@@ -142,16 +194,5 @@ L_n(x) \ln(x)
 \end{align*}
 wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
 $\forall k \in \mathbb{N}$.
-Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
-Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
-    papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf%
-}
-\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
-\label{laguerre:fig:polyeval}
-\end{figure}
-
 % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
 % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index b0cc3a3..b007c2d 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -3,36 +3,83 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Eigenschaften
-  \label{laguerre:section:eigenschaften}}
-{
-\large \color{red}
-TODO:
-Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
-benötigt wird.
-}
-
-Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
-\rhead{Eigenschaften}
-
-\subsection{Orthogonalität
-  \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
-Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
-dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
+\subsection{Orthogonalität%
+\label{laguerre:subsection:orthogonal}}
+\rhead{Orthogonalität}%
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}
+haben wir die Behauptung aufgestellt,
+dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind.
 Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
-Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein
-Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
-bei
-den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
-Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
-Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form
+%
+Um die Orthogonalität von Funktionen zu zeigen,
+bieten sich folgende Möglichkeiten an:
+\begin{enumerate}
+\item Identifizieren der Funktion als Eigenfunktion eines Skalarproduktes
+mit einem selbstadjungierten Operator.
+Dafür muss aber zuerst bewiesen werden,
+dass der verwendete Operator selbstadjungiert ist.
+Die Theorie dazu findet sich in den
+Abschnitten~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} und
+\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel}.
+\item Umformen der Differentialgleichung in die Form der
+Sturm-Liouville-Differentialgleichung,
+denn für dieses verallgemeinerte Problem
+ist die Orthogonalität bereits bewiesen.
+Die Theorie dazu findet sich im Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}.
+\end{enumerate}
+
+% \subsubsection{Plan}
+\subsubsection{Idee}
+Für den Beweis der Orthogonalität der Laguerre-Polynome möchten
+wir den zweiten Ansatz über das Sturm-Liouville-Problem verwenden.
+% Dazu müssen wir die Laguerre-Differentialgleichung~\eqref{laguerre:dgl}
+% in die Form der Sturm-Liouville-Differentialgleichung bringen.
+Allerdings möchten wir nicht die Laguerre-Differentialgleichung
+in die richtige Form bringen,
+sondern den Laguerre-Operator
+\begin{align}
+\Lambda
+=
+x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\label{laguerre:lagop}
+.
+\end{align}
+Da es sich beim Sturm-Liouville-Problem um ein Eigenwertproblem handelt,
+kann die Orthogonalität äquivalent über denn Sturm-Liouville-Operator
 \begin{align}
 S
 =
 \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
 \label{laguerre:slop}
 \end{align}
-Aus der Beziehung
+bewiesen werden.
+Dazu müssen wir die Operatoren einander gleichsetzen.
+
+% Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
+% Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
+% bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
+% Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
+% Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator
+% \begin{align}
+% S
+% =
+% \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
+% \label{laguerre:slop}
+% \end{align}
+% und den Laguerre-Operator
+% \begin{align}
+% \Lambda
+% =
+% x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+% \end{align}
+% erhalten werden,
+% indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
+
+\subsubsection{Umformen in Sturm-Liouville-Operator}
+% Aus der Beziehung von
+Setzen wir nun 
+\eqref{laguerre:lagop} und \eqref{laguerre:slop}
+einander gleich
 \begin{align}
 S
  & =
@@ -43,45 +90,52 @@ S
  & =
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}
 \label{laguerre:sl-lag}
+,
 \end{align}
 lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$.
 Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
 \begin{align*}
 x \frac{dp}{dx}
 =
--(\nu + 1 - x) p,
+(\nu + 1 - x) p
 \end{align*}
 erfüllen muss.
 Durch Separation erhalten wir dann
 \begin{align*}
 \int \frac{dp}{p}
  & =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx
+\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
+=
+\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
 \\
 \log p
  & =
--\log \nu + 1 - x + C
+(\nu + 1)\log x - x + c
 \\
 p(x)
  & =
--C x^{\nu + 1} e^{-x}
+C x^{\nu + 1} e^{-x}
+.
 \end{align*}
-Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} erhalten wir
+Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 \begin{align*}
 \frac{C}{w(x)}
 \left(
-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} +
+-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} -
 (\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx}
 \right)
 =
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
 \end{align*}
-Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, dass $w(x) = x^\nu
-e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$.
-Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an,
-deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
-Definitionsbereich $(0, \infty)$.
-Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen,
+Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden,
+dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$. %mit $\nu \geq 0$.
+Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an.
+Ausserdem hat die Gewichtsfunktion $w(x)$ für negative $\nu$ einen Pol bei $x=0$,
+daher ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur für den
+Definitionsbereich $(0, \infty)$ geeignet.
+
+\subsubsection{Randbedingungen}
+Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen
 \begin{align}
 k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0)
  & =
@@ -94,10 +148,12 @@ k_\infty y(\infty) + h_\infty p(\infty) y'(\infty)
 \label{laguerre:sllag_randb}
 \end{align}
 mit $|k_i|^2 + |h_i|^2 \neq 0,\,\forall i \in \{0, \infty\}$, erfüllt sind.
-Am linken Rand (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randa}) kann $y(0) = 1$, $k_0 =
-0$ und $h_0 = 1$ verwendet werden,
+%
+Am linken Rand \eqref{laguerre:sllag_randa} kann $y(0) = 1$, $k_0 = 0$ und
+$h_0 = 1$ verwendet werden,
 was auch die Laguerre-Polynome ergeben haben.
-Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
+
+Für den rechten Rand ist die Bedingung \eqref{laguerre:sllag_randb}
 \begin{align*}
 \lim_{x \rightarrow \infty} p(x) y'(x)
  & =
@@ -106,14 +162,27 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 0
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
-Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal
-bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion 
-$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
-
-
-\subsection{Rodrigues-Formel}
-
-\subsection{Drei-Terme Rekursion}
 
-\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
+% Somit können wir schlussfolgern:
+\begin{satz}
+Die Laguerre-Polynome %($\nu=0$)
+\eqref{laguerre:polynom}
+% \begin{align*}
+% L_n(x)
+% =
+% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+% \end{align*}
+sind orthognale Polynome bezüglich des Skalarproduktes
+im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=e^{-x}$.
+\end{satz}
 
+\begin{satz}
+Die assoziierten Laguerre-Polynome \eqref{laguerre:allg_polynom}
+% \begin{align*}
+% L_n^\nu(x)
+% =
+% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
+% \end{align*}
+sind orthogonale Polynome bezüglich des Skalarproduktes 
+im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=x^\nu e^{-x}$.
+\end{satz}
diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index e3838b0..0cf17b9 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -3,74 +3,605 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Anwendung: Berechnung der Gamma-Funktion
+\section{Anwendung: Berechnung der
+  Gamma-Funktion%
   \label{laguerre:section:quad-gamma}}
+\rhead{Approximation der Gamma-Funktion}%
 Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
-um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu
-berechnen.
-Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden
-Abschnitten sehen werden.
+um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich~$(0, \infty)$
+zu berechnen.
+Dabei bietet sich zum Beispiel die Gamma-Funktion hervorragend an,
+wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden.
 
-\subsection{Gamma-Funktion}
+Im ersten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gamma} möchten wir noch einmal
+die wichtigsten Eigenschaften der Gamma-Funktion betrachten,
+bevor wir dann im zweiten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}
+diese Eigenschaften nutzen werden,
+damit wir die Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion
+markant verbessern können.
+% damit wir sie dann in einem nächsten Schritt verwenden können,
+% um unsere Approximationsmethode zu verbessern
+% Im zweiten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma} 
+% wenden wir dann die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion und
+% erweitern die Methode 
+
+\subsection{Gamma-Funktion%
+\label{laguerre:subsection:gamma}}
 Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
 Zahlenmenge.
+Mehr Informationen zur Gamma-Funktion lassen sich im
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:gamma} finden.
 Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als
 Integral der Form
 \begin{align}
 \Gamma(z)
  & =
-\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
 ,
 \quad
-\text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$}
-,
+\text{wobei } \operatorname{Re}(z) > 0
 \label{laguerre:gamma}
+.
 \end{align}
-welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur
-berechnet zu werden.
+Der Term $e^{-x}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen
+genau die Bedingungen der Gauss-Laguerre-Integration.
+% Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
+% der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
+Weiter zu erwähnen ist, dass für die assoziierte Gauss-Laguerre-Integration die
+Gewichtsfunktion $x^\nu e^{-x}$  exakt dem Integranden
+für $\nu = z - 1$ entspricht.
 
 \subsubsection{Funktionalgleichung}
-Die Funktionalgleichung besagt
+Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät,
+nämlich
 \begin{align}
-z \Gamma(z) = \Gamma(z+1).
+\Gamma(z+1)
+=
+z \Gamma(z)
+\quad
+\text{mit }
+\Gamma(1)
+=
+1
+.
 \label{laguerre:gamma_funktional}
 \end{align}
-Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten,
-geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
-um das gewünschte Resultat zu erhalten.
 
-\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
+\subsubsection{Reflektionsformel}
+Die Reflektionsformel
+\begin{align}
+\Gamma(z) \Gamma(1 - z)
+=
+\frac{\pi}{\sin \pi z}
+,\quad
+\text{für }
+z \notin \mathbb{Z}
+\label{laguerre:gamma_refform}
+\end{align}
+stellt eine Beziehung zwischen den zwei Punkten,
+die aus der Spiegelung an der Geraden $\real z = 1/2$ hervorgehen,
+her.
+Dadurch lassen Werte der Gamma-Funktion sich für $z$ in der rechten Halbebene
+leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt.
 
-Fehlerterm:
+\subsection{Berechnung mittels
+Gauss-Laguerre-Quadratur%
+\label{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}}
+In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen,
+dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur
+\begin{align*}
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+=
+\int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\end{align*}
+eignet.
+Nun bieten sich uns zwei Optionen,
+diese zu berechnen:
+\begin{enumerate}
+\item Wir verwenden die assoziierten Laguerre-Polynome $L_n^\nu(x)$ mit
+$w(x) = x^\nu e^{-x}$, $\nu = z - 1$ und $f(x) = 1$.
+% $f(x)=1$.
+% \begin{align*}
+% \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+% =
+% \int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+% \quad
+% \text{mit }
+% w(x)
+% =
+% x^\nu e^{-x},
+% \nu
+% =
+% z - 1
+% \text{ und }
+% f(x) = 1
+% .
+% \end{align*}
+\item Wir verwenden die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ mit
+$w(x) = e^{-x}$ und $f(x) = x^{z - 1}$.
+% $f(x)=x^{z-1}$
+% \begin{align*}
+% \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+% =
+% \int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+% \quad
+% \text{mit }
+% w(x)
+% =
+% e^{-x}
+% \text{ und }
+% f(x) = x^{z - 1}
+% .
+% \end{align*}
+\end{enumerate}
+Die erste Variante wäre optimal auf das Problem angepasst,
+allerdings müssten die Gewichte und Nullstellen für jedes $z$
+neu berechnet werden,
+da sie per Definition von $z$ abhängen.
+Dazu kommt,
+dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach
+\cite{laguerre:Cassity1965AbcissasCA}
 \begin{align*}
+A_i
+=
+\frac{
+\Gamma(n) \Gamma(n+\nu)
+}
+{
+(n+\nu)
+\left[L_{n-1}^{\nu}(x_i)\right]^2
+}
+\end{align*}
+Evaluationen der Gamma-Funktion benötigen.
+Somit ist diese Methode eindeutig nicht geeignet für unser Vorhaben.
+
+Bei der zweiten Variante benötigen wir keine Neuberechung der Gewichte
+und Nullstellen für unterschiedliche $z$.
+In \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} ist ersichtlich,
+dass die Gewichte einfach zu berechnen sind.
+Auch die Nullstellen können vorgängig,
+mittels eines geeigneten Verfahrens,
+aus den Polynomen bestimmt werden.
+Als problematisch könnte sich höchstens
+die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen.
+Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte,
+die zweite Variante weiterzuverfolgen.
+
+\subsubsection{Direkter Ansatz}
+%
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des direkten Ansatzes
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der
+Laguerre-Polynome}%
+\label{laguerre:fig:rel_error_simple}
+\end{figure}
+%.
+Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
+\eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion
+\eqref{laguerre:gamma} an,
+ergibt sich
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+\approx
+\sum_{i=1}^n x_i^{z-1} A_i
+\label{laguerre:naive_lag}
+.
+\end{align}
+Bevor wir die Gauss-Laguerre-Quadratur anwenden,
+möchten wir als ersten Schritt eine Fehlerabschätzung durchführen.
+Für den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} wird die $2n$-te Ableitung
+der zu integrierenden Funktion $f(\xi)$ benötigt.
+Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also
+\begin{align*}
+\frac{d^{2n}}{d\xi^{2n}} f(\xi)
+ & =
+\frac{d^{2n}}{d\xi^{2n}} \xi^{z-1}
+\\
+ & =
+(z - 2n)_{2n} \xi^{z - 2n - 1}
+.
+\end{align*}
+Eingesetzt im Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} resultiert
+\begin{align}
 R_n
 =
 (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1}
-\end{align*}
+,
+\label{laguerre:gamma_err_simple}
+\end{align}
+wobei $\xi$ ein geeigneter Wert im Intervall $(0, \infty)$ ist
+und $n$ der Grad des verwendeten Laguerre-Polynoms.
+Eine Fehlerabschätzung mit dem Fehlerterm stellt sich als unnütz heraus,
+da $R_n$ für $z < 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow 0$ eine Singularität aufweist
+und für $z > 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow \infty$ divergiert.
+Nur für den unwahrscheinlichen Fall $ z = 2n - 1$
+wäre eine Fehlerabschätzung plausibel.
 
-\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
+Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur
+auf die Gamma-Funktion an.
+Dazu benötigen wir die Gewichte nach
+\eqref{laguerre:quadratur_gewichte}
+und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$.
+Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein
+Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}.
+Man kann sehen,
+wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$.
+Laut der Theorie der Gauss-Quadratur ist das auch zu erwarten,
+da die Approximation via Gauss-Quadratur
+exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ und
+der Integrand $x^{z-1}$ wird für $z \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$
+zu einem Polynom .
+% Hinzukommt, dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
+Es ist ersichtlich,
+dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Intervall gibt,
+in dem der relative Fehler minimal ist.
+Links steigt der relative Fehler besonders stark an,
+während er auf der rechten Seite zu konvergieren scheint.
+
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Spiegelung negativer Realwerte
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\label{laguerre:fig:rel_error_mirror}
+\end{figure}
+
+Um die linke Hälfte in den Griff zu bekommen,
+könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion verwenden.
+Spiegelt man nun $z$ mit negativem Realteil mittels der Reflektionsformel,
+ergibt sich ein stabilerer Fehler in der linken Hälfte,
+wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_mirror}.
+Die Spiegelung bringt nur für wenige Werte einen,
+für praktische Anwendungen geeigneten,
+relativen Fehler.
+Wie wir aber in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple} sehen konnten,
+gibt es für jeden Polynomgrad $n$ ein Intervall $[a(n), a(n) + 1]$,
+$a(n) \in \mathbb{Z}$,
+in welchem der relative Fehler minimal ist.
+Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion \eqref{laguerre:gamma_funktional}
+könnte uns hier helfen,
+das Problem in den Griff zu bekommen.
+
+\subsubsection{Analyse des Integranden}
+Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben,
+scheint der Integrand problematisch.
+Darum möchten wir ihn jetzt analysieren,
+damit wir ihn besser verstehen können.
+Dies sollte es uns ermöglichen,
+anschliessend geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
+
+% Dieser Abschnitt soll eine grafisches Verständnis dafür schaffen,
+% wieso der Integrand so problematisch ist.
+% Was das heisst sollte in Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} 
+% und Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} grafisch dargestellt werden.
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/integrand.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\label{laguerre:fig:integrand}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $x^z$ für
+unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt.
+Dies entspricht der zu integrierenden Funktion $f(x)$
+der Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion.
+Man erkennt,
+dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt
+und auch für grosse $z$ wächst der Integrand sehr schnell an.
+Das heisst,
+die Ableitungen im Fehlerterm divergieren noch schneller
+und das wirkt sich negativ auf die Genauigkeit der Approximation aus.
+Somit lässt sich hier sagen,
+dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten.
+
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/integrand_exp.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Integrand $x^z e^{-x}$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\label{laguerre:fig:integrand_exp}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} fügen wir
+die Dämpfung der Gewichtsfunktion $w(x)$
+der Gauss-Laguerre-Quadratur wieder hinzu
+und erhalten so wieder den kompletten Integranden $x^{z} e^{-x}$
+der Gamma-Funktion.
+Für negative $z$ ergeben sich immer noch Singularitäten,
+wenn $x \rightarrow 0$.
+Um $x = 1$ wächst der Term $x^z$ für positive $z$
+schneller als die Dämpfung $e^{-x}$,
+aber für $x \rightarrow \infty$ geht der Integrand gegen $0$.
+Das führt zu glockenförmigen Kurven,
+die für grosse Exponenten $z$ nach der Stelle $x=1$ schnell anwachsen.
+Zu grosse Exponenten $z$ sind also immer noch problematisch.
+Kleine positive $z$ scheinen nun aber auch zulässig zu sein.
+Damit formulieren wir die Vermutung,
+dass $a(n)$,
+welches das Intervall $[a(n), a(n) + 1]$ definiert,
+in dem der relative Fehler minimal ist,
+grösser als $0$ und kleiner als $2n-1$ ist.
+
+\subsubsection{Ansatz mit Verschiebungsterm}
+% Mittels der Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} 
+% kann der Wert von $\Gamma(z)$ im Intervall $z \in [a,a+1]$,
+% in dem der relative Fehler minimal ist,
+% evaluiert werden und dann mit der Funktionalgleichung zurückverschoben werden.
 Nun stellt sich die Frage,
 ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann,
-wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und
-dann zurückverschiebt mit der Funktionalgleichung.
-Dazu wollen wir den Fehlerterm in
-Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren.
-Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren.
-Zudem nehmen wir an, dass die optimale Stelle $x^* \in \mathbb{R}$, $z < x^*$
-ist.
-Dann fügen wir einen Verschiebungsterm um $m$ Stellen ein, daraus folgt
+wenn man das Problem in einem geeigneten Intervall $[a(n), a(n)+1]$,
+$a(n) \in \mathbb{Z}$,
+evaluiert und dann mit der
+Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} zurückverschiebt.
+Für dieses Vorhaben führen wir einen Verschiebungsterm $m \in \mathbb{Z}$ ein.
+Passen wir \eqref{laguerre:naive_lag}
+mit dem Verschiebungsterm $m$
+%,der $z$ and die Stelle $z_m = z + m$ verschiebt, 
+an,
+ergibt sich
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+\approx
+s(z, m) \sum_{i=1}^n x_i^{z + m - 1} A_i
+% &&
+% \text{mit }
+% s(z, m)
+% =
+% \begin{cases}
+% \displaystyle
+% \frac{1}{(z - m)_m} & \text{wenn } m \geq 0\\
+% (z + m)_{-m} & \text{wenn } m < 0
+% \end{cases}
+% .
+\label{laguerre:shifted_lag}
+\end{align}
+mit
 \begin{align*}
-R_n
+s(z, m)
 =
-\frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\frac{1}{(z)_m} & \text{wenn } m \geq 0 \\
+(z + m)_{-m}    & \text{wenn } m < 0
+\end{cases}
 .
 \end{align*}
 
-{
-\large \color{red}
-TODO:
-Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich
-bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen.
-}
+\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
+Um die optimale Stelle $z^*(n) \in \left[a(n), a(n) + 1\right]$,
+$z^*(n) \in \mathbb{R}$,
+zu finden,
+erweitern wir denn Fehlerterm \eqref{laguerre:gamma_err_simple}
+und erhalten
+\begin{align}
+R_{n,m}(\xi)
+=
+s(z, m) \cdot (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
+,\quad
+\text{für }
+\xi \in (0, \infty)
+\label{laguerre:gamma_err_shifted}
+.
+\end{align}
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf}
+% %\vspace{-12pt}
+\caption{$m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\label{laguerre:fig:targets}
+\end{figure}
+%
+Daraus formulieren wir das Optimierungproblem
+\begin{align*}
+m^*
+=
+\operatorname*{argmin}_m \max_\xi R_{n,m}(\xi)
+.
+\end{align*}
+Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und
+hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes.
+Dazu müssten wir $\xi$ versuchen,
+unter Kontrolle zu bringen,
+was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint.
+Da die Gauss-Quadratur aber sowieso
+nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist,
+können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden.
+
+Wir bestimmen nun die optimalen Verschiebungsterme empirisch
+für $n = 1,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$,
+da $z$ sowieso mit den Term $m$ verschoben wird,
+reicht es,
+die $m^*$ nur in diesem Intervall zu analysieren.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:targets} sind die empirisch bestimmten $m^*$
+abhängig von $z$ und $n$ dargestellt.
+In $n$-Richtung lässt sich eine klare lineare Abhängigkeit erkennen und
+die Beziehung zu $z$ ist negativ,
+d.h. wenn $z$ grösser ist, wird $m^*$ kleiner.
+Allerdings ist die genaue Beziehung zu $z$
+aus dieser Grafik nicht offensichtlich,
+aber sie scheint regelmässig zu sein.
+Es lässt die Vermutung aufkommen,
+dass die Restriktion von $m^* \in \mathbb{Z}$ Rundungsprobleme verursacht.
+Wir versuchen,
+dieses Problem via lineare Regression und geeignete Rundung zu beheben.
+Den linearen Regressor
+\begin{align*}
+\hat{m}
+=
+\alpha n + \beta
+\end{align*}
+machen wir nur abhängig von $n$,
+in dem wir den Mittelwert $\overline{m}$ von $m^*$ über $z$ berechnen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/estimates.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/estimates.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler}
+\label{laguerre:fig:schaetzung}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate
+der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34154$ und $\beta =
+0.848786$.
+Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen.
+Der optimale Verschiebungsterm kann nun mit
+\begin{align*}
+m^*
+\approx
+\lceil \hat{m} - z \rceil
+=
+\lceil \alpha n + \beta - z \rceil
+\end{align*}
+% kann nun mit dem linearen Regressor und $z$
+gefunden werden.
+
+\subsubsection{Evaluation des Schätzers}
+In einem ersten Schritt möchten wir analysieren,
+wie gut die Abschätzung des optimalen Verschiebungsterms ist.
+Dazu bestimmen wir den relativen Fehler für verschiedene Verschiebungsterme $m$
+in der Nähe von $m^*$ bei gegebenem Polynomgrad $n = 8$ für $z \in (0, 1)$.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_shifted} sind die relativen Fehler
+der Approximation dargestellt.
+Man kann deutlich sehen,
+dass der relative Fehler anwächst,
+je weiter der Verschiebungsterm vom idealen Wert abweicht.
+Zudem scheint der Schätzer den optimalen Verschiebungsterm gut zu bestimmen,
+da der Schätzer zuerst der grünen Linie folgt und
+dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt.
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
+Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$.
+$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.}
+\label{laguerre:fig:rel_error_shifted}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Resultate}
+Das Verfahren scheint für den Grad $n=8$ und $z \in (0,1)$ gut zu funktioneren.
+Es stellt sich nun die Frage,
+wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für
+unterschiedliche $n$ dargestellt.
+Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen
+für ganzzahlige $z$.
+Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber,
+wie zu erwarten war,
+ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$.
+Zudem lässt sich erkennen,
+dass der Fehler abhängig von der Ordnung $n$
+des verwendeten Laguerre-Polynoms ist.
+Wenn der Grad $n$ um $1$ erhöht wird,
+verbessert sich die Genauigkeit des Resultats um etwa eine signifikante Stelle.
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_complex}
+ist der Betrag des relativen Fehlers in der komplexen Ebene dargestellt.
+Je stärker der Imaginäranteil von $z$ von $0$ abweicht,
+umso schlechter wird die Genauigkeit der Approximation.
+Das erstaunt nicht weiter,
+da die Gauss-Quadratur eigentlich nur für reelle Zahlen definiert ist.
+Wenn der Imaginäranteil von $z$ ungefähr $0$ ist,
+lässt sich das gleiche Bild beobachten wie in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range}.
+
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_range.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit optimalen Verschiebungsterm
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$}
+\label{laguerre:fig:rel_error_range}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Absolutwert des relativen Fehlers in der komplexen Ebene}
+\label{laguerre:fig:rel_error_complex}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Vergleich mit Lanczos-Methode}
+Nun stellt sich die Frage,
+wie das in diesem Abschnitt beschriebene Approximationsverfahren
+der Gamma-Funktion sich gegenüber den üblichen Approximationsverfahren schlägt.
+Eine häufig verwendete Methode ist die Lanczos-Approximation,
+welche gegeben ist durch
+\begin{align}
+\Gamma(z + 1)
+\approx
+\sqrt{2\pi} \left( z + \sigma + \frac{1}{2} \right)^{z + 1/2}
+e^{-(z + \sigma + 1/2)} \sum_{k=0}^n g_k H_k(z)
+,
+\end{align}
+wobei
+\begin{align*}
+g_k = \frac{e^\sigma \varepsilon_k (-1)^k}{\sqrt{2\pi}}
+\sum_{r=0}^k (-1)^r \, \binom{k}{r} \, (k)_r
+\left( \frac{e}{r + \sigma + \frac{1}{2}}\right)^{r + 1/2}
+,
+\end{align*}
+\begin{align*}
+\varepsilon_k
+=
+\begin{cases}
+1 & \text{für } k = 0 \\
+2 & \text{sonst}
+\end{cases}
+\quad \text{und}\quad
+H_k(z)
+=
+\frac{(-1)^k (-z)_k}{(z+1)_k}
+\end{align*}
+mit $H_0 = 1$ und $\sum_0^n g_k = 1$ (siehe \cite{laguerre:lanczos}).
+Diese Methode wurde zum Beispiel in
+{\em GNU Scientific Library}, {\em Boost}, {\em CPython} und
+{\em musl} implementiert.
+Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise eine Genauigkeit von $13$
+korrekten, signifikanten Stellen für reelle Argumente.
+Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$
+eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen
+für reelle Argumente.
 
-\subsection{Resultate}
+\subsubsection{Fazit}
+% Das Resultat ist etwas enttäuschend,
+Die Genauigkeit der vorgestellten Methode schneidet somit schlechter ab
+als die Lanczos-Methode.
+Dieser Erkenntnis kommt nicht ganz unerwartet,
+% aber nicht unerwartet,
+da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und
+unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist.
+Allerdings besticht die vorgestellte Methode
+durch ihre stark reduzierte Komplexität. % und Rechenaufwand.
+% Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht,
+% ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender,
+% weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen,
+% wenigen Multiplikationen und Additionen besteht.
+Was den Rechenaufwand angeht,
+benötigt die vorgestellte Methode,
+für eine Genauigkeit von $n-1$ signifikanten Stellen,
+nur $n$ Funktionsevaluationen
+und wenige zusätzliche Multiplikationen und Additionen.
+Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
+und/oder knappen Energieressourcen finden.
+Die vorgestellte Methode ist ein weiteres Beispiel dafür,
+wie Verfahren durch die Kenntnis der Eigenschaften einer Funktion
+verbessert werden können.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf b/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fe48f47
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex b/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex
new file mode 100644
index 0000000..efa0863
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex
@@ -0,0 +1,1024 @@
+\def\gammaplus{({\dx*0.0190},{\dy*52.0728})
+ -- ({\dx*0.0200},{\dy*49.4422})
+ -- ({\dx*0.0400},{\dy*24.4610})
+ -- ({\dx*0.0600},{\dy*16.1457})
+ -- ({\dx*0.0800},{\dy*11.9966})
+ -- ({\dx*0.1000},{\dy*9.5135})
+ -- ({\dx*0.1200},{\dy*7.8633})
+ -- ({\dx*0.1400},{\dy*6.6887})
+ -- ({\dx*0.1600},{\dy*5.8113})
+ -- ({\dx*0.1800},{\dy*5.1318})
+ -- ({\dx*0.2000},{\dy*4.5908})
+ -- ({\dx*0.2200},{\dy*4.1505})
+ -- ({\dx*0.2400},{\dy*3.7855})
+ -- ({\dx*0.2600},{\dy*3.4785})
+ -- ({\dx*0.2800},{\dy*3.2169})
+ -- ({\dx*0.3000},{\dy*2.9916})
+ -- ({\dx*0.3200},{\dy*2.7958})
+ -- ({\dx*0.3400},{\dy*2.6242})
+ -- ({\dx*0.3600},{\dy*2.4727})
+ -- ({\dx*0.3800},{\dy*2.3383})
+ -- ({\dx*0.4000},{\dy*2.2182})
+ -- ({\dx*0.4200},{\dy*2.1104})
+ -- ({\dx*0.4400},{\dy*2.0132})
+ -- ({\dx*0.4600},{\dy*1.9252})
+ -- ({\dx*0.4800},{\dy*1.8453})
+ -- ({\dx*0.5000},{\dy*1.7725})
+ -- ({\dx*0.5200},{\dy*1.7058})
+ -- ({\dx*0.5400},{\dy*1.6448})
+ -- ({\dx*0.5600},{\dy*1.5886})
+ -- ({\dx*0.5800},{\dy*1.5369})
+ -- ({\dx*0.6000},{\dy*1.4892})
+ -- ({\dx*0.6200},{\dy*1.4450})
+ -- ({\dx*0.6400},{\dy*1.4041})
+ -- ({\dx*0.6600},{\dy*1.3662})
+ -- ({\dx*0.6800},{\dy*1.3309})
+ -- ({\dx*0.7000},{\dy*1.2981})
+ -- ({\dx*0.7200},{\dy*1.2675})
+ -- ({\dx*0.7400},{\dy*1.2390})
+ -- ({\dx*0.7600},{\dy*1.2123})
+ -- ({\dx*0.7800},{\dy*1.1875})
+ -- ({\dx*0.8000},{\dy*1.1642})
+ -- ({\dx*0.8200},{\dy*1.1425})
+ -- ({\dx*0.8400},{\dy*1.1222})
+ -- ({\dx*0.8600},{\dy*1.1031})
+ -- ({\dx*0.8800},{\dy*1.0853})
+ -- ({\dx*0.9000},{\dy*1.0686})
+ -- ({\dx*0.9200},{\dy*1.0530})
+ -- ({\dx*0.9400},{\dy*1.0384})
+ -- ({\dx*0.9600},{\dy*1.0247})
+ -- ({\dx*0.9800},{\dy*1.0119})
+ -- ({\dx*1.0000},{\dy*1.0000})
+ -- ({\dx*1.0200},{\dy*0.9888})
+ -- ({\dx*1.0400},{\dy*0.9784})
+ -- ({\dx*1.0600},{\dy*0.9687})
+ -- ({\dx*1.0800},{\dy*0.9597})
+ -- ({\dx*1.1000},{\dy*0.9514})
+ -- ({\dx*1.1200},{\dy*0.9436})
+ -- ({\dx*1.1400},{\dy*0.9364})
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+ -- ({\dx*1.1800},{\dy*0.9237})
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+\def\gammathree{({\dx*-2.9810},{\dy*-8.9887})
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+\def\gammafour{({\dx*-3.9950},{\dy*8.3966})
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+\def\gammasinone{({\dx*-0.9810},{\dy*-53.1410})
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+\def\gammasinfive{({\dx*-4.9990},{\dy*-8.3507})
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+\def\gammasinsix{({\dx*-5.9998},{\dy*6.9477})
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.tex
@@ -0,0 +1,73 @@
+%
+% gammaplot.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\input{gammapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink
+
+\draw[->] (-6.1,0) -- (5.3,0) coordinate[label={$z$}];
+\draw[->] (0,-5.1) -- (0,6.4) coordinate[label={right:$\Gamma(z)$}];
+
+\foreach \x in {-1,-2,-3,-4,-5,-6}{
+	\draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1);
+	\draw[line width=0.1pt] (\x,-5) -- (\x,6.2);
+}
+\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
+	\draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1);
+	\node at (\x,0) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{
+	\draw (-0.1,\y) -- (0.1,\y);
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4,5,6}{
+	\node at (0,\y) [left] {$\y$};
+}
+\foreach \y in {-1,-2,-3,-4,-5}{
+	\node at (0,\y) [right] {$\y$};
+}
+\foreach \x in {-1,-3,-5}{
+	\node at (\x,0) [below left] {$\x$};
+}
+\foreach \x in {-2,-4,-6}{
+	\node at (\x,0) [above left] {$\x$};
+}
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{1}
+
+\begin{scope}
+\clip (-6.1,-5) rectangle (4.3,6.2);
+
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+
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammaplus;
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammaone;
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+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
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new file mode 100644
index 0000000..76be412
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/integrand.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf b/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf
new file mode 100644
index 0000000..5fe7a7b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf
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new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf
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deleted file mode 100644
index 3976bc7..0000000
--- a/buch/papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf
new file mode 100644
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+++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf
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new file mode 100644
index 0000000..dc61c88
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex
index 00e3b43..133d686 100644
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+++ b/buch/papers/laguerre/main.tex
@@ -8,7 +8,28 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Patrik Müller}
 
-{\large \color{red} TODO: Einleitung}
+{\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome,
+benannt nach Edmond Laguerre (1834 -- 1886),
+sind Lösungen der ebenfalls nach %Laguerre 
+ihm
+benannten Differentialgleichung.
+Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden
+für das Integral
+% $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx $ 
+\begin{align*}
+\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx
+\end{align*}
+suchte.
+Darum möchten wir uns in diesem Kapitel,
+ganz im Sinne des Entdeckers,
+den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit
+exponentiell abfallenden Funktionen widmen.
+Namentlich werden wir versuchen, mittels Laguerre-Polynomen und
+der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu
+finden.
+
+Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil
+der Lösung für die Schrödinger-Gleichung eines Wasserstoffatoms auf.
 
 \input{papers/laguerre/definition}
 \input{papers/laguerre/eigenschaften}
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index 4ebc172..a80d091 100644
--- a/buch/papers/laguerre/packages.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/packages.tex
@@ -6,4 +6,4 @@
 
 % if your paper needs special packages, add package commands as in the
 % following example
-\usepackage{derivative}
+\DeclareMathOperator{\real}{Re}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex
new file mode 100644
index 0000000..3db69f5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex
@@ -0,0 +1,134 @@
+\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer}
+
+% style
+\mode<presentation>{
+	\usetheme{Frankfurt}
+}
+%packages
+\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-}
+\usepackage[ngerman]{babel}
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+
+\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
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+
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+\usepackage{amsmath}
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+\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables
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+
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+
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+
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+
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+\usefonttheme[onlymath]{serif}
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+%Beamer Template modifications
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+
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+}
+
+\usepackage{caption}
+\captionsetup{labelformat=empty}
+
+%Title Page
+\title{Laguerre-Polynome}
+\subtitle{Anwendung: Approximation der Gamma-Funktion}
+\author{Patrik Müller}
+% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}}
+\date{\today}
+
+\input{../packages.tex}
+
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+
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+
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+
+\makeatletter
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+\newcommand{\myrepeat}[2]{%
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+\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}
+	\titlepage
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Inhaltsverzeichnis}
+	\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\input{sections/laguerre}
+
+\input{sections/gaussquad}
+
+\input{sections/gamma}
+
+\input{sections/gamma_approx}
+
+\appendix
+\begin{frame}
+	% \centering
+	% \Large
+	% \textbf{Vielen Dank für die Aufmerksamkeit}
+\end{frame}
+
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..7dca39b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+\section{Gamma-Funktion}
+
+\begin{frame}{Gamma-Funktion}
+\begin{columns}
+
+\begin{column}{0.55\textwidth}
+\begin{figure}[h]
+\vspace{-16pt}
+\centering
+% \scalebox{0.51}{\input{../images/gammaplot.pdf}}
+\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/gammaplot.pdf}
+% \caption{Gamma-Funktion}
+\end{figure}
+\end{column}
+
+\begin{column}{0.45\textwidth}
+Verallgemeinerung der Fakultät
+\begin{align*}
+\Gamma(n) = (n-1)!    
+\end{align*}
+
+Integralformel
+\begin{align*}
+\Gamma(z) 
+=
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+,\quad
+\operatorname{Re} z > 0
+\end{align*}
+
+Funktionalgleichung
+\begin{align*}
+z \Gamma(z)
+=
+\Gamma(z + 1)
+\end{align*}
+
+Reflektionsformel
+\begin{align*}
+\Gamma(z) \Gamma(1 - z)
+=
+\frac{\pi}{\sin \pi z}
+, \quad
+\text{für }
+z \notin \mathbb{Z}
+\end{align*}
+
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
new file mode 100644
index 0000000..b5e1131
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -0,0 +1,201 @@
+\section{Approximieren der Gamma-Funktion}
+
+\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$}
+
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+ & =
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+\uncover<2->{
+\approx
+\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
+}
+\uncover<3->{
+=
+\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i
+}
+\\\\
+\uncover<4->{
+ & \text{wobei }
+A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
+\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+}
+\end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Fehlerabschätzung}
+\begin{align*}
+R_n(\xi)
+ & =
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+\\
+ & =
+(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1}
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\end{align*}
+
+% \textbf{Probleme:}
+\begin{itemize}
+\item Funktion ist unbeschränkt
+\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an
+\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Einfacher Ansatz}
+
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf}
+\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte
+von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\end{figure}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?}
+
+\textbf{Beobachtungen}
+\begin{itemize}
+\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$
+\item Gewisse Periodizität zu erkennen
+\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler
+\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler
+\item $a$ ist abhängig von $n$
+\end{itemize}
+
+\uncover<2->{
+\textbf{Ursache?}
+\begin{itemize}
+\item Vermutung: Integrand ist problematisch
+}
+\uncover<3->{
+\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden
+}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{$f(x) = x^z$}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Neuer Ansatz?}
+
+\textbf{Vermutung}
+\begin{itemize}
+\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal
+ist
+\item $a(n) > 0$
+\end{itemize}
+
+\uncover<2->{
+\textbf{Idee}
+\begin{itemize}
+\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann
+mit Funktionalgleichung zurückverschieben
+\end{itemize}
+}
+
+\uncover<3->{
+\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?}
+\begin{itemize}
+\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm
+}
+\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen}
+\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen}
+\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll,
+da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Verschiebungsterm}
+\begin{columns}
+\begin{column}{0.625\textwidth}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf}
+\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\end{figure}
+\end{column}
+\begin{column}{0.375\textwidth}
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+\approx
+\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
+\end{align*}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Schätzen von $m^*$}
+\begin{columns}
+\begin{column}{0.65\textwidth}
+\begin{figure}
+\centering
+\vspace{-12pt}
+% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}}
+\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{column}
+\begin{column}{0.34\textwidth}
+\begin{align*}
+\hat{m}
+&=
+\alpha n + \beta
+\\
+&\approx
+1.34154 n + 0.848786
+\\
+m^*
+&=
+\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil
+\end{align*}
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}}
+\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf}
+\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}}
+\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf}
+\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode}
+Maximaler relativer Fehler für $n=6$
+\begin{itemize}
+    \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$
+    \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ 
+\end{itemize}
+\end{frame}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex
new file mode 100644
index 0000000..4d973b8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+\section{Gauss-Quadratur}
+
+\begin{frame}{Gauss-Quadratur}
+\textbf{Idee}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Polynome können viele Funktionen approximieren
+\item Wenn Verfahren gut für Polynome funktioniert,
+sollte es auch für andere Funktionen funktionieren
+\item Integrieren eines Interpolationspolynom
+\item Interpolationspolynom ist durch Funktionswerte $f(x_i)$ bestimmt
+$\Rightarrow$ Integral kann durch Funktionswerte berechnet werden
+\item Evaluation der Funktionswerte an geeigneten Stellen
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Gauss-Quadratur}
+\begin{align*}
+\int_{-1}^{1} f(x) \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\end{align*}
+
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Exakt für Polynome mit Grad $2n-1$
+\item Interpolationspolynome müssen orthogonal sein
+\item Stützstellen $x_i$ sind Nullstellen des Polynoms
+\item Fehler:
+\begin{align*}
+E
+=
+\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_{-1}^{1} l(x)^2 \, dx
+,\quad
+\text{wobei }
+l(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i)
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Gauss-Laguerre-Quadratur}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Erweiterung des Integrationsintervall von $[-1, 1]$ auf $(a, b)$
+\item Hinzufügen einer Gewichtsfunktion
+\item Bei uneigentlichen Integralen muss Gewichtsfunktion schneller als jedes
+Integrationspolynom gegen $0$ gehen
+\item[$\Rightarrow$] Für Laguerre-Polynome haben wir den Definitionsbereich
+$(0, \infty)$ und die Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$
+\begin{align*}
+\int_0^\infty & f(x) e^{-x} \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\\
+                & \text{wobei }
+A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
+\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Fehler der Gauss-Laguerre-Quadratur}
+\begin{align*}
+R_n
+=
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\end{align*}
+\end{frame}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
new file mode 100644
index 0000000..f99214e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
@@ -0,0 +1,91 @@
+\section{Laguerre-Polynome}
+
+\begin{frame}{Laguerre-Differentialgleichung}
+
+\begin{itemize}
+\item Benannt nach Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886)
+\item Aus Artikel von 1879,
+in dem er $\int_0^\infty \exp(-x)/x \, dx$ analysierte
+\end{itemize}
+
+\begin{align*}
+x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+ & =
+0
+, \quad
+n \in \mathbb{N}_0
+, \quad
+x \in \mathbb{R}
+\end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Lösen der Differentialgleichung}
+
+\begin{align*}
+x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+ & =
+0
+\\
+\end{align*}
+
+\uncover<2->{
+\centering
+\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
+%% use here too
+\path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to
+node[anchor=west]{Potenzreihenansatz} (0, -0.8);
+\end{tikzpicture}
+}
+
+\begin{align*}
+\uncover<3->{
+L_n(x)
+ & =
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+}
+\end{align*}
+\uncover<4->{
+\begin{itemize}
+    \item Die Lösungen der DGL sind die Laguerre-Polynome
+\end{itemize}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_poly.pgf}}
+\includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/laguerre_poly.pdf}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Orthogonalität}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Beweis: Umformen in Sturm-Liouville-Problem (siehe Paper)
+\begin{alignat*}{5}
+((p(x) &y'(x)))' + q(x) &y(x) 
+&=
+\lambda &w(x) &y(x)
+\\
+((x e^{-x} &y'(x)))' + 0 &y(x)
+&=
+n &e^{-x} &y(x)
+\end{alignat*}
+\item Definitionsbereich $(0, \infty)$
+\item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$
+\end{itemize}
+
+\uncover<4->{
+\begin{align*}
+\int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx
+=
+0
+,\quad 
+n \neq m
+,\quad
+n, m \in \mathbb{N}
+\end{align*}
+}
+\end{frame}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 60fad7f..0e32012 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -3,37 +3,96 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Gauss-Quadratur
+\section{Gauss-Quadratur%
   \label{laguerre:section:quadratur}}
- {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur}
+\rhead{Gauss-Quadratur}%
+Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
+welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet.
+Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im
+Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
+Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
+dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
+verwendet.
+Stellt man also sicher,
+dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert,
+sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
+Es wird ein Interpolationspolynom verwendet,
+welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$
+die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
+Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
 \begin{align}
-\int_a^b f(x) w(x)
+\int_a^b f(x) w(x) \, dx
 \approx
-\sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
 \label{laguerre:gaussquadratur}
 \end{align}
+berechnet werden.
+Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$,
+wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde.
 
-\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur
+\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur%
 \label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}}
-Die Gauss-Quadratur kann auch auf Skalarprodukte mit Gewichtsfunktionen
-ausgeweitet werden.
-In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
-$L_n$ ausweiten.
-Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
-der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren:
+Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung
+von uneigentlichen Integralen erweitern,
+spezifisch auf das Intervall~$(0, \infty)$.
+Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich.
+% Mit einer Transformation
+% \begin{align*}
+% x
+% =
+% % a + 
+% \frac{1 - t}{t}
+% \end{align*}
+% die das unendliche Intervall~$(0, \infty)$ 
+% auf das Intervall~$[0, 1]$ transformiert,
+% kann dies behoben werden.
+% % Für unseren Fall gilt $a = 0$.
+Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent.
+Es ist also nötig,
+den Integranden durch Funktionen zu approximieren,
+die genügend schnell gegen $0$ gehen.
+Man kann Polynome beliebigen Grades verwenden,
+wenn sie mit einer Funktion multipliziert werden,
+die schneller gegen $0$ geht als jedes Polynom.
+Damit stellen wir sicher,
+dass das Integral immer noch konvergiert.
+% Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
+% die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
+% damit das Integral immer noch konvergiert.
+Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe,
+da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
+gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
+% In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
+% $L_n$ ausweiten.
+% Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
+% der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
+Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu
+berechen,
+formt man das Integral wie folgt um:
+\begin{align*}
+\int_0^\infty g(x) \, dx
+=
+\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx
+\end{align*}
+Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom
+wie bei der Gauss-Quadratur.
+% Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt
+% umformulieren:
+Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also
+für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
 \approx
-\sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i
+\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
 \label{laguerre:laguerrequadratur}
+.
 \end{align}
 
 \subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
-des verwendeten Polynoms genommen werden.
-Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und
-als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
+des Approximationspolynoms genommen werden.
+Für das Laguerre-Polynom $L_n(x)$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
+als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
 l_i(x_j)
@@ -41,39 +100,117 @@ l_i(x_j)
 \delta_{ij}
 =
 \begin{cases}
-1 & i=j           \\
-0 & \text{sonst.}
+1 & i=j          \\
+0 & \text{sonst}
 \end{cases}
+% .
 \end{align*}
-Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte also
-\begin{align}
+die Lagrangeschen Interpolationspolynome.
+Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit
+\begin{align*}
+A_i
+ & =
+-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n \phi'_n(x_i) \phi_{n+1} (x_i)}
+\end{align*}
+berechnet werden.
+$C_i$ entspricht dabei dem Koeffizienten von $x^i$
+des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
+\begin{align*}
+\gamma_n
+=
+\int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx
+\end{align*}
+dem Normalisierungsfaktor.
+
+Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
+nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten
+(ersichtlich am Term $(-1)^k$ in \eqref{laguerre:polynom})
+aus,
+damit erhalten wir
+\begin{align*}
 A_i
+ & =
+-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n L'_n(x_i) L_{n+1} (x_i)}
+\\
+ & = \frac{C_n}{C_{n-1}} \frac{\gamma_{n-1}}{L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
+.
+\end{align*}
+Für Laguerre-Polynome gilt
+\begin{align*}
+\frac{C_n}{C_{n-1}}
 =
-\frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2}
+-\frac{1}{n}
+\quad \text{und} \quad
+\gamma_n
+=
+1
+.
+\end{align*}
+Daraus folgt
+\begin{align}
+A_i
+ & =
+- \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
+\label{laguerre:gewichte_lag_temp}
+.
+\end{align}
+Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome
+\cite{laguerre:hildebrand2013introduction}
+% (siehe \cite{laguerre:hildebrand2013introduction})
+\begin{align*}
+x L'_n(x)
+ & =
+n L_n(x) - n L_{n-1}(x)
+\\
+ & = (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
+\end{align*}
+umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind,
+vereinfacht sich die Gleichung zu
+\begin{align*}
+x_i L'_n(x_i)
+ & =
+- n L_{n-1}(x_i)
+\\
+ & =
+(n + 1) L_{n+1}(x_i)
+.
+\end{align*}
+Setzen wir diese Beziehung nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
+ergibt sich
+\begin{align}
+\nonumber
+A_i
+ & =
+\frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2}
+\\
+ & =
+\frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
 .
 \label{laguerre:quadratur_gewichte}
 \end{align}
 
 \subsubsection{Fehlerterm}
+Die Gauss-Laguerre-Quadratur mit $n$ Stützstellen berechnet Integrale
+von Polynomen bis zum Grad $2n - 1$ exakt.
+Für beliebige Funktionen kann eine Fehlerabschätzung angegeben werden.
 Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
 \begin{align*}
-\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx
+\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx
 =
 \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n
 \end{align*}
-un \cite{abramowitz+stegun} gibt in als
+und \cite{laguerre:abramowitz+stegun} gibt ihn als
 \begin{align}
 R_n
-=
+ & =
+\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_0^\infty l(x)^2 e^{-x}\,dx
+\\
+ & =
 \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
 ,\quad
 0 < \xi < \infty
-\label{lagurre:lag_error}
+\label{laguerre:lag_error}
 \end{align}
 an.
-
-{
-\large \color{red}
-TODO:
-Noch mehr Text / bessere Beschreibungen in allen Abschnitten
-}
+Der Fehler ist also abhängig von der $2n$-ten Ableitung
+der zu integrierenden Funktion.
diff --git a/buch/papers/laguerre/references.bib b/buch/papers/laguerre/references.bib
index 6956ade..1a4a903 100644
--- a/buch/papers/laguerre/references.bib
+++ b/buch/papers/laguerre/references.bib
@@ -3,13 +3,20 @@
 %
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
+@book{laguerre:hildebrand2013introduction,
+  title={Introduction to Numerical Analysis: Second Edition},
+  author={Hildebrand, F.B.},
+  isbn={9780486318554},
+  series={Dover Books on Mathematics},
+  year={2013},
+  publisher={Dover Publications},
+  pages = {389-392}
+}
 
-@book{abramowitz+stegun,
+@book{laguerre:abramowitz+stegun,
   added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
   address = {New York},
   author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.},
-  biburl = {https://www.bibsonomy.org/bibtex/223ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f/a_olympia},
-  description = {BibTeX - Wikipedia, the free encyclopedia},
   edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing},
   interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c},
   intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f},
@@ -19,4 +26,23 @@
   timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
   title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
   year = 1972
+}
+
+@article{laguerre:Cassity1965AbcissasCA,
+  title={Abcissas, coefficients, and error term for the generalized Gauss-Laguerre quadrature formula using the zero ordinate},
+  author={C. Ronald Cassity},
+  journal={Mathematics of Computation},
+  year={1965},
+  volume={19},
+  pages={287-296}
+}
+
+@online{laguerre:lanczos,
+	title = {Lanczos Approximation},
+  author={Eric W. Weisstein},
+	url = {https://mathworld.wolfram.com/LanczosApproximation.html},
+	date = {2022-07-18},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {18}
 }
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py b/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py
new file mode 100644
index 0000000..1acd7f7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py
@@ -0,0 +1,49 @@
+if __name__ == "__main__":
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+
+    import gamma_approx as ga
+    import targets
+
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+    
+    N = 200
+    ns = np.arange(1, 13)
+    step = 1 / (N - 1)
+    x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1)
+
+    bests = targets.find_best_loc(N, ns=ns)
+    mean_m = np.mean(bests, -1)
+
+    intercept, bias = np.polyfit(ns, mean_m, 1)
+    fig, axs = plt.subplots(
+        2, num=1, sharex=True, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4.5, 3.6)
+    )
+    xl = np.array([ns[0] - 0.5, ns[-1] + 0.5])
+    axs[0].plot(xl, intercept * xl + bias, label=r"$\hat{m}$")
+    axs[0].plot(ns, mean_m, "x", label=r"$\overline{m}$")
+    axs[1].plot(
+        ns, ((intercept * ns + bias) - mean_m), "-x", label=r"$\hat{m} - \overline{m}$"
+    )
+    axs[0].set_xlim(*xl)
+    axs[0].set_xticks(ns)
+    axs[0].set_yticks(np.arange(np.floor(mean_m[0]), np.ceil(mean_m[-1]) + 0.1, 2))
+    # axs[0].set_title("Schätzung von Mittelwert")
+    # axs[1].set_title("Fehler")
+    axs[-1].set_xlabel(r"$n$")
+    for ax in axs:
+        ax.grid(1)
+        ax.legend()
+    # fig.savefig(f"{ga.img_path}/estimates.pgf")
+    fig.savefig(f"{ga.img_path}/estimates.pdf")
+
+    print(f"Intercept={intercept:.6g}, Bias={bias:.6g}")
+    predicts = np.ceil(intercept * ns[:, None] + bias - np.real(x))
+    print(f"Error: {np.mean(np.abs(bests - predicts))}")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.ipynb b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.ipynb
deleted file mode 100644
index 44f3abd..0000000
--- a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.ipynb
+++ /dev/null
@@ -1,395 +0,0 @@
-{
- "cells": [
-  {
-   "cell_type": "markdown",
-   "metadata": {},
-   "source": [
-    "# Gauss-Laguerre Quadratur für die Gamma-Funktion\n",
-    "\n",
-    "$$\n",
-    "    \\Gamma(z)\n",
-    "    = \n",
-    "    \\int_0^\\infty t^{z-1}e^{-t}dt\n",
-    "$$\n",
-    "\n",
-    "$$\n",
-    "    \\int_0^\\infty f(x) e^{-x} dx \n",
-    "    \\approx \n",
-    "    \\sum_{i=1}^{N} f(x_i) w_i\n",
-    "    \\qquad\\text{ wobei }\n",
-    "    w_i = \\frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2}\n",
-    "$$\n",
-    "und $x_i$ sind Nullstellen des Laguerre Polynoms $L_n(x)$\n",
-    "\n",
-    "Der Fehler ist gegeben als\n",
-    "\n",
-    "$$\n",
-    "    E \n",
-    "    =\n",
-    "    \\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\\xi) \n",
-    "    = \n",
-    "    \\frac{(-2n + z)_{2n}}{(z-m)_m} \\frac{(n!)^2}{(2n)!} \\xi^{z + m - 2n - 1}\n",
-    "$$"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "code",
-   "execution_count": null,
-   "metadata": {},
-   "outputs": [],
-   "source": [
-    "import numpy as np\n",
-    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
-    "from cmath import exp, pi, sin, sqrt\n",
-    "import scipy.special\n",
-    "\n",
-    "EPSILON = 1e-07\n"
-   ]
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-   "cell_type": "code",
-   "execution_count": null,
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-   "source": [
-    "lanczos_p = [\n",
-    "    676.5203681218851,\n",
-    "    -1259.1392167224028,\n",
-    "    771.32342877765313,\n",
-    "    -176.61502916214059,\n",
-    "    12.507343278686905,\n",
-    "    -0.13857109526572012,\n",
-    "    9.9843695780195716e-6,\n",
-    "    1.5056327351493116e-7,\n",
-    "]\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def drop_imag(z):\n",
-    "    if abs(z.imag) <= EPSILON:\n",
-    "        z = z.real\n",
-    "    return z\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def lanczos_gamma(z):\n",
-    "    z = complex(z)\n",
-    "    if z.real < 0.5:\n",
-    "        y = pi / (sin(pi * z) * lanczos_gamma(1 - z))  # Reflection formula\n",
-    "    else:\n",
-    "        z -= 1\n",
-    "        x = 0.99999999999980993\n",
-    "        for (i, pval) in enumerate(lanczos_p):\n",
-    "            x += pval / (z + i + 1)\n",
-    "        t = z + len(lanczos_p) - 0.5\n",
-    "        y = sqrt(2 * pi) * t ** (z + 0.5) * exp(-t) * x\n",
-    "    return drop_imag(y)\n"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "code",
-   "execution_count": null,
-   "metadata": {},
-   "outputs": [],
-   "source": [
-    "zeros, weights = np.polynomial.laguerre.laggauss(8)\n",
-    "# zeros = np.array(\n",
-    "#     [\n",
-    "#         1.70279632305101000e-1,\n",
-    "#         9.03701776799379912e-1,\n",
-    "#         2.25108662986613069e0,\n",
-    "#         4.26670017028765879e0,\n",
-    "#         7.04590540239346570e0,\n",
-    "#         1.07585160101809952e1,\n",
-    "#         1.57406786412780046e1,\n",
-    "#         2.28631317368892641e1,\n",
-    "#     ]\n",
-    "# )\n",
-    "\n",
-    "# weights = np.array(\n",
-    "#     [\n",
-    "#         3.69188589341637530e-1,\n",
-    "#         4.18786780814342956e-1,\n",
-    "#         1.75794986637171806e-1,\n",
-    "#         3.33434922612156515e-2,\n",
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-    "#         9.07650877335821310e-5,\n",
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-    "#     ]\n",
-    "# )\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def pochhammer(z, n):\n",
-    "    return np.prod(z + np.arange(n))\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def find_shift(z, target):\n",
-    "    factor = 1.0\n",
-    "    steps = int(np.floor(target - np.real(z)))\n",
-    "    zs = z + steps\n",
-    "    if steps > 0:\n",
-    "        factor = 1 / pochhammer(z, steps)\n",
-    "    elif steps < 0:\n",
-    "        factor = pochhammer(zs, -steps)\n",
-    "    return zs, factor\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def laguerre_gamma(z, x, w, target=11):\n",
-    "    # res = 0.0\n",
-    "    z = complex(z)\n",
-    "    if z.real < 1e-3:\n",
-    "        res = pi / (\n",
-    "            sin(pi * z) * laguerre_gamma(1 - z, x, w, target)\n",
-    "        )  # Reflection formula\n",
-    "    else:\n",
-    "        z_shifted, correction_factor = find_shift(z, target)\n",
-    "        res = np.sum(x ** (z_shifted - 1) * w)\n",
-    "        res *= correction_factor\n",
-    "    res = drop_imag(res)\n",
-    "    return res\n"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "code",
-   "execution_count": null,
-   "metadata": {},
-   "outputs": [],
-   "source": [
-    "def eval_laguerre(x, target=12):\n",
-    "    return np.array([laguerre_gamma(xi, zeros, weights, target) for xi in x])\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def eval_lanczos(x):\n",
-    "    return np.array([lanczos_gamma(xi) for xi in x])\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def eval_mean_laguerre(x, targets):\n",
-    "    return np.mean([eval_laguerre(x, target) for target in targets], 0)\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def calc_rel_error(x, y):\n",
-    "    return (y - x) / x\n",
-    "\n",
-    "\n",
-    "def evaluate(x, target=12):\n",
-    "    lanczos_gammas = eval_lanczos(x)\n",
-    "    laguerre_gammas = eval_laguerre(x, target)\n",
-    "    rel_error = calc_rel_error(lanczos_gammas, laguerre_gammas)\n",
-    "    return rel_error\n"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "markdown",
-   "metadata": {},
-   "source": [
-    "### Test with real values"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "markdown",
-   "metadata": {},
-   "source": [
-    "Empirische Tests zeigen:\n",
-    "- $n=4 \\Rightarrow m=6$\n",
-    "- $n=5 \\Rightarrow m=7$ oder $m=8$\n",
-    "- $n=6 \\Rightarrow m=9$\n",
-    "- $n=7 \\Rightarrow m=10$\n",
-    "- $n=8 \\Rightarrow m=11$ oder $m=12$\n",
-    "- $n=9 \\Rightarrow m=13$\n",
-    "- $n=10 \\Rightarrow m=14$\n",
-    "- $n=11 \\Rightarrow m=15$ oder $m=16$\n",
-    "- $n=12 \\Rightarrow m=17$\n",
-    "- $n=13 \\Rightarrow m=18 \\Rightarrow $ Beginnt numerisch instabil zu werden \n"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "code",
-   "execution_count": null,
-   "metadata": {},
-   "outputs": [],
-   "source": [
-    "zeros, weights = np.polynomial.laguerre.laggauss(12)\n",
-    "targets = np.arange(16, 21)\n",
-    "mean_targets = ((16, 17),)\n",
-    "x = np.linspace(EPSILON, 1 - EPSILON, 101)\n",
-    "_, axs = plt.subplots(\n",
-    "    2, sharex=True, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(12, 12)\n",
-    ")\n",
-    "\n",
-    "lanczos = eval_lanczos(x)\n",
-    "for mean_target in mean_targets:\n",
-    "    vals = eval_mean_laguerre(x, mean_target)\n",
-    "    rel_error_mean = calc_rel_error(lanczos, vals)\n",
-    "    axs[0].plot(x, rel_error_mean, label=mean_target)\n",
-    "    axs[1].semilogy(x, np.abs(rel_error_mean), label=mean_target)\n",
-    "\n",
-    "mins = []\n",
-    "maxs = []\n",
-    "for target in targets:\n",
-    "    rel_error = evaluate(x, target)\n",
-    "    mins.append(np.min(np.abs(rel_error[(0.1 <= x) & (x <= 0.9)])))\n",
-    "    maxs.append(np.max(np.abs(rel_error)))\n",
-    "    axs[0].plot(x, rel_error, label=target)\n",
-    "    axs[1].semilogy(x, np.abs(rel_error), label=target)\n",
-    "# axs[0].set_ylim(*(np.array([-1, 1]) * 3.5e-8))\n",
-    "\n",
-    "axs[0].set_xlim(x[0], x[-1])\n",
-    "axs[1].set_ylim(np.min(mins), 1.04*np.max(maxs))\n",
-    "for ax in axs:\n",
-    "    ax.legend()\n",
-    "    ax.grid(which=\"both\")\n"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "code",
-   "execution_count": null,
-   "metadata": {},
-   "outputs": [],
-   "source": [
-    "targets = (16, 17)\n",
-    "xmax = 15\n",
-    "x = np.linspace(-xmax + EPSILON, xmax - EPSILON, 1000)\n",
-    "\n",
-    "mean_lag = eval_mean_laguerre(x, targets)\n",
-    "lanczos = eval_lanczos(x)\n",
-    "rel_error = calc_rel_error(lanczos, mean_lag)\n",
-    "rel_error_simple = evaluate(x, targets[-1])\n",
-    "# rel_error = evaluate(x, target)\n",
-    "\n",
-    "_, axs = plt.subplots(\n",
-    "    2, sharex=True, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(12, 12)\n",
-    ")\n",
-    "axs[0].plot(x, rel_error, label=targets)\n",
-    "axs[1].semilogy(x, np.abs(rel_error), label=targets)\n",
-    "axs[0].plot(x, rel_error_simple, label=targets[-1])\n",
-    "axs[1].semilogy(x, np.abs(rel_error_simple), label=targets[-1])\n",
-    "axs[0].set_xlim(x[0], x[-1])\n",
-    "# axs[0].set_ylim(*(np.array([-1, 1]) * 4.2e-8))\n",
-    "# axs[1].set_ylim(1e-10, 5e-8)\n",
-    "for ax in axs:\n",
-    "    ax.legend()\n",
-    "\n",
-    "x2 = np.linspace(-5 + EPSILON, 5, 4001)\n",
-    "_, ax = plt.subplots(constrained_layout=True, figsize=(8, 6))\n",
-    "ax.plot(x2, eval_mean_laguerre(x2, targets))\n",
-    "ax.set_xlim(x2[0], x2[-1])\n",
-    "ax.set_ylim(-7.5, 25)\n"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "markdown",
-   "metadata": {},
-   "source": [
-    "### Test with complex values"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "code",
-   "execution_count": null,
-   "metadata": {},
-   "outputs": [],
-   "source": [
-    "targets = (16, 17)\n",
-    "vals = np.linspace(-5 + EPSILON, 5, 100)\n",
-    "x, y = np.meshgrid(vals, vals)\n",
-    "mesh = x + 1j * y\n",
-    "input = mesh.flatten()\n",
-    "\n",
-    "mean_lag = eval_mean_laguerre(input, targets).reshape(mesh.shape)\n",
-    "lanczos = eval_lanczos(input).reshape(mesh.shape)\n",
-    "rel_error = np.abs(calc_rel_error(lanczos, mean_lag))\n",
-    "\n",
-    "lag = eval_laguerre(input, targets[-1]).reshape(mesh.shape)\n",
-    "rel_error_simple = np.abs(calc_rel_error(lanczos, lag))\n",
-    "# rel_error = evaluate(x, target)\n",
-    "\n",
-    "fig, axs = plt.subplots(\n",
-    "    2,\n",
-    "    2,\n",
-    "    sharex=True,\n",
-    "    sharey=True,\n",
-    "    clear=True,\n",
-    "    constrained_layout=True,\n",
-    "    figsize=(12, 10),\n",
-    ")\n",
-    "_c = axs[0, 1].pcolormesh(x, y, np.log10(np.abs(lanczos - mean_lag)), shading=\"gouraud\")\n",
-    "_c = axs[0, 0].pcolormesh(x, y, np.log10(np.abs(lanczos - lag)), shading=\"gouraud\")\n",
-    "fig.colorbar(_c, ax=axs[0, :])\n",
-    "_c = axs[1, 1].pcolormesh(x, y, np.log10(rel_error), shading=\"gouraud\")\n",
-    "_c = axs[1, 0].pcolormesh(x, y, np.log10(rel_error_simple), shading=\"gouraud\")\n",
-    "fig.colorbar(_c, ax=axs[1, :])\n",
-    "_ = axs[0, 0].set_title(\"Absolute Error\")\n",
-    "_ = axs[1, 0].set_title(\"Relative Error\")\n"
-   ]
-  },
-  {
-   "cell_type": "code",
-   "execution_count": null,
-   "metadata": {},
-   "outputs": [],
-   "source": [
-    "z = 0.5\n",
-    "ns = [4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12]  # np.arange(4, 13)\n",
-    "ms = np.arange(6, 18)\n",
-    "xi = np.logspace(0, 2, 201)[:, None]\n",
-    "lanczos = eval_lanczos([z])[0]\n",
-    "\n",
-    "_, ax = plt.subplots(clear=True, constrained_layout=True, figsize=(12, 8))\n",
-    "ax.grid(1)\n",
-    "for n, m in zip(ns, ms):\n",
-    "    zeros, weights = np.polynomial.laguerre.laggauss(n)\n",
-    "    c = scipy.special.factorial(n) ** 2 / scipy.special.factorial(2 * n)\n",
-    "    e = np.abs(\n",
-    "        scipy.special.poch(z - 2 * n, 2 * n)\n",
-    "        / scipy.special.poch(z - m, m)\n",
-    "        * c\n",
-    "        * xi ** (z - 2 * n + m - 1)\n",
-    "    )\n",
-    "    ez = np.sum(\n",
-    "        scipy.special.poch(z - 2 * n, 2 * n)\n",
-    "        / scipy.special.poch(z - m, m)\n",
-    "        * c\n",
-    "        * zeros[:, None] ** (z - 2 * n + m - 1),\n",
-    "        0,\n",
-    "    )\n",
-    "    lag = eval_laguerre([z], m)[0]\n",
-    "    err = np.abs(lanczos - lag)\n",
-    "    # print(m+z,ez)\n",
-    "    # for zi,ezi in zip(z[0], ez):\n",
-    "    #     print(f\"{m+zi}: {ezi}\")\n",
-    "    # ax.semilogy(xi, e, color=color)\n",
-    "    lines = ax.loglog(xi, e, label=str(n))\n",
-    "    ax.axhline(err, color=lines[0].get_color())\n",
-    "    # ax.set_xticks(np.arange(xi[-1] + 1))\n",
-    "    # ax.set_ylim(1e-8, 1e5)\n",
-    "_ = ax.legend()\n",
-    "# _ = ax.legend([f\"z={zi}\" for zi in z[0]])\n",
-    "# _ = [ax.axvline(x) for x in zeros]\n"
-   ]
-  }
- ],
- "metadata": {
-  "interpreter": {
-   "hash": "767d51c1340bd893661ea55ea3124f6de3c7a262a8b4abca0554b478b1e2ff90"
-  },
-  "kernelspec": {
-   "display_name": "Python 3.8.10 64-bit",
-   "language": "python",
-   "name": "python3"
-  },
-  "language_info": {
-   "codemirror_mode": {
-    "name": "ipython",
-    "version": 3
-   },
-   "file_extension": ".py",
-   "mimetype": "text/x-python",
-   "name": "python",
-   "nbconvert_exporter": "python",
-   "pygments_lexer": "ipython3",
-   "version": "3.8.10"
-  },
-  "orig_nbformat": 4
- },
- "nbformat": 4,
- "nbformat_minor": 2
-}
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py
new file mode 100644
index 0000000..5b09e59
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py
@@ -0,0 +1,116 @@
+from pathlib import Path
+
+import numpy as np
+import scipy.special
+
+EPSILON = 1e-7
+root = str(Path(__file__).parent)
+img_path = f"{root}/../images"
+fontsize = "medium"
+cmap = "plasma"
+
+
+def _prep_zeros_and_weights(x, w, n):
+    if x is None or w is None:
+        return np.polynomial.laguerre.laggauss(n)
+    return x, w
+
+
+def drop_imag(z):
+    if abs(z.imag) <= EPSILON:
+        z = z.real
+    return z
+
+
+def pochhammer(z, n):
+    return np.prod(z + np.arange(n))
+
+
+def find_optimal_shift(z, n):
+    mhat = 1.34093 * n + 0.854093
+    steps = int(np.floor(mhat - np.real(z)))
+    return steps
+
+
+def get_shifting_factor(z, steps):
+    factor = 1.0
+    if steps > 0:
+        factor = 1 / pochhammer(z, steps)
+    elif steps < 0:
+        factor = pochhammer(z + steps, -steps)
+    return factor
+
+
+def laguerre_gamma_shifted(z, x=None, w=None, n=8, target=11):
+    x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+    n = len(x)
+
+    z += 0j
+    steps = int(np.floor(target - np.real(z)))
+    z_shifted = z + steps
+    correction_factor = get_shifting_factor(z, steps)
+
+    res = np.sum(x ** (z_shifted - 1) * w)
+    res *= correction_factor
+    res = drop_imag(res)
+    return res
+
+
+def laguerre_gamma_opt_shifted(z, x=None, w=None, n=8):
+    if z == 0.0:
+        return np.infty
+    x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+    n = len(x)
+
+    z += 0j
+    opt_shift = find_optimal_shift(z, n)
+    correction_factor = get_shifting_factor(z, opt_shift)
+    z_shifted = z + opt_shift
+
+    res = np.sum(x ** (z_shifted - 1) * w)
+    res *= correction_factor
+    res = drop_imag(res)
+    return res
+
+
+def laguerre_gamma_simple(z, x=None, w=None, n=8):
+    if z == 0.0:
+        return np.infty
+    x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+    z += 0j
+    res = np.sum(x ** (z - 1) * w)
+    res = drop_imag(res)
+    return res
+
+
+def laguerre_gamma_mirror(z, x=None, w=None, n=8):
+    if z == 0.0:
+        return np.infty
+    x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+    z += 0j
+    if z.real < 1e-3:
+        return np.pi / (
+            np.sin(np.pi * z) * laguerre_gamma_simple(1 - z, x, w)
+        )  # Reflection formula
+    return laguerre_gamma_simple(z, x, w)
+
+
+def eval_laguerre_gamma(z, x=None, w=None, n=8, func="simple", **kwargs):    
+    x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)    
+    if func == "simple":
+        f = laguerre_gamma_simple
+    elif func == "mirror":
+        f = laguerre_gamma_mirror
+    elif func == "optimal_shifted":
+        f = laguerre_gamma_opt_shifted
+    else:
+        f = laguerre_gamma_shifted
+    return np.array([f(zi, x, w, n, **kwargs) for zi in z])
+
+
+def calc_rel_error(x, y):
+    mask = np.abs(x) != np.infty
+    rel_error = np.zeros_like(y)
+    rel_error[mask] = (y[mask] - x[mask]) / x[mask]
+    rel_error[~mask] = 0.0
+    return rel_error
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py
new file mode 100644
index 0000000..e970721
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py
@@ -0,0 +1,42 @@
+#!/usr/bin/env python3
+# -*- coding:utf-8 -*-
+"""Plot for integrand of gamma function with shifting terms."""
+
+if __name__ == "__main__":
+    import os
+    from pathlib import Path
+
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+    
+    EPSILON = 1e-12
+    xlims = np.array([-3, 3])
+
+    root = str(Path(__file__).parent)
+    img_path = f"{root}/../images"
+    os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
+
+    t = np.logspace(*xlims, 1001)[:, None]
+
+    z = np.array([-4.5, -2, -1, -0.5, 0.0, 0.5, 1, 2, 4.5])
+    r = t ** z
+
+    fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4, 2.4))
+    ax.semilogx(t, r)
+    ax.set_xlim(*(10.0 ** xlims))
+    ax.set_ylim(1e-3, 40)
+    ax.set_xlabel(r"$x$")
+    # ax.set_ylabel(r"$x^z$")
+    ax.grid(1, "both")
+    labels = [f"$z={zi: 3.1f}$" for zi in np.squeeze(z)]
+    ax.legend(labels, ncol=2, loc="upper left", fontsize="small")
+    fig.savefig(f"{img_path}/integrand.pdf")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py
new file mode 100644
index 0000000..e649b26
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py
@@ -0,0 +1,46 @@
+#!/usr/bin/env python3
+# -*- coding:utf-8 -*-
+"""Plot for integrand of gamma function with shifting terms."""
+
+if __name__ == "__main__":
+    import os
+    from pathlib import Path
+
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+    
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+
+    EPSILON = 1e-12
+    xlims = np.array([-3, 3])
+
+    root = str(Path(__file__).parent)
+    img_path = f"{root}/../images"
+    os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
+
+    t = np.logspace(*xlims, 1001)[:, None]
+
+    z = np.array([-1, -0.5, 0.0, 0.5, 1, 2, 3, 4, 4.5])
+    e = np.exp(-t)
+    r = t ** z * e
+
+    fig, ax = plt.subplots(num=2, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4, 2.4))
+    ax.semilogx(t, r)
+    # ax.plot(t,np.exp(-t))
+    ax.set_xlim(10 ** (-2), 20)
+    ax.set_ylim(1e-3, 10)
+    ax.set_xlabel(r"$x$")
+    # ax.set_ylabel(r"$x^z e^{-x}$")
+    ax.grid(1, "both")
+    labels = [f"$z={zi: 3.1f}$" for zi in np.squeeze(z)]
+    ax.legend(labels, ncol=2, loc="upper left", fontsize="small")
+    # fig.savefig(f"{img_path}/integrand_exp.pgf")
+    fig.savefig(f"{img_path}/integrand_exp.pdf")
+    # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_plot.py b/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_plot.py
deleted file mode 100644
index b9088d0..0000000
--- a/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_plot.py
+++ /dev/null
@@ -1,100 +0,0 @@
-#!/usr/bin/env python3
-# -*- coding:utf-8 -*-
-"""Some plots for Laguerre Polynomials."""
-
-import os
-from pathlib import Path
-
-import matplotlib.pyplot as plt
-import numpy as np
-import scipy.special as ss
-
-
-def get_ticks(start, end, step=1):
-    ticks = np.arange(start, end, step)
-    return ticks[ticks != 0]
-
-
-N = 1000
-step = 5
-t = np.linspace(-1.05, 10.5, N)[:, None]
-root = str(Path(__file__).parent)
-img_path = f"{root}/../images"
-os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
-
-
-# fig = plt.figure(num=1, clear=True, tight_layout=True, figsize=(5.5, 3.7))
-# ax = fig.add_subplot(axes_class=AxesZero)
-fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(6, 4))
-for n in np.arange(0, 8):
-    k = np.arange(0, n + 1)[None]
-    L = np.sum((-1) ** k * ss.binom(n, k) / ss.factorial(k) * t ** k, -1)
-    ax.plot(t, L, label=f"n={n}")
-
-ax.set_xticks(get_ticks(int(t[0]), t[-1]), minor=True)
-ax.set_xticks(get_ticks(0, t[-1], step))
-ax.set_xlim(t[0], t[-1] + 0.1 * (t[1] - t[0]))
-ax.set_xlabel(r"$x$", x=1.0, labelpad=-10, rotation=0, fontsize="large")
-
-ylim = 13
-ax.set_yticks(np.arange(-ylim, ylim), minor=True)
-ax.set_yticks(np.arange(-step * (ylim // step), ylim, step))
-ax.set_ylim(-ylim, ylim)
-ax.set_ylabel(r"$y$", y=0.95, labelpad=-18, rotation=0, fontsize="large")
-
-ax.legend(ncol=2, loc=(0.125, 0.01), fontsize="large")
-
-# set the x-spine
-ax.spines[["left", "bottom"]].set_position("zero")
-ax.spines[["right", "top"]].set_visible(False)
-ax.xaxis.set_ticks_position("bottom")
-hlx = 0.4
-dx = t[-1, 0] - t[0, 0]
-dy = 2 * ylim
-hly = dy / dx * hlx
-dps = fig.dpi_scale_trans.inverted()
-bbox = ax.get_window_extent().transformed(dps)
-width, height = bbox.width, bbox.height
-
-# manual arrowhead width and length
-hw = 1.0 / 60.0 * dy
-hl = 1.0 / 30.0 * dx
-lw = 0.5  # axis line width
-ohg = 0.0  # arrow overhang
-
-# compute matching arrowhead length and width
-yhw = hw / dy * dx * height / width
-yhl = hl / dx * dy * width / height
-
-# draw x and y axis
-ax.arrow(
-    t[-1, 0] - hl,
-    0,
-    hl,
-    0.0,
-    fc="k",
-    ec="k",
-    lw=lw,
-    head_width=hw,
-    head_length=hl,
-    overhang=ohg,
-    length_includes_head=True,
-    clip_on=False,
-)
-
-ax.arrow(
-    0,
-    ylim - yhl,
-    0.0,
-    yhl,
-    fc="k",
-    ec="k",
-    lw=lw,
-    head_width=yhw,
-    head_length=yhl,
-    overhang=ohg,
-    length_includes_head=True,
-    clip_on=False,
-)
-
-fig.savefig(f"{img_path}/laguerre_polynomes.pdf")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py b/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py
new file mode 100644
index 0000000..05db5d3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py
@@ -0,0 +1,108 @@
+import numpy as np
+
+
+def get_ticks(start, end, step=1):
+    ticks = np.arange(start, end, step)
+    return ticks[ticks != 0]
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    import os
+    from pathlib import Path
+
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import scipy.special as ss
+    
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+
+    N = 1000
+    step = 5
+    t = np.linspace(-1.05, 10.5, N)[:, None]
+    root = str(Path(__file__).parent)
+    img_path = f"{root}/../images"
+    os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
+
+    # fig = plt.figure(num=1, clear=True, tight_layout=True, figsize=(5.5, 3.7))
+    # ax = fig.add_subplot(axes_class=AxesZero)
+    fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(6, 4))
+    for n in np.arange(0, 8):
+        k = np.arange(0, n + 1)[None]
+        L = np.sum((-1) ** k * ss.binom(n, k) / ss.factorial(k) * t ** k, -1)
+        ax.plot(t, L, label=f"$n={n}$")
+
+    ax.set_xticks(get_ticks(int(t[0]), t[-1]), minor=True)
+    ax.set_xticks(get_ticks(0, t[-1], step))
+    ax.set_xlim(t[0], t[-1] + 0.1 * (t[1] - t[0]))
+    ax.set_xlabel(r"$x$", x=1.0, labelpad=-10, rotation=0, fontsize="large")
+
+    ylim = 13
+    ax.set_yticks(get_ticks(-ylim, ylim), minor=True)
+    ax.set_yticks(get_ticks(-step * (ylim // step), ylim, step))
+    ax.set_ylim(-ylim, ylim)
+    ax.set_ylabel(r"$y$", y=0.95, labelpad=-14, rotation=0, fontsize="large")
+
+    ax.legend(ncol=2, loc=(0.125, 0.01), fontsize="large")
+
+    # set the x-spine
+    ax.spines[["left", "bottom"]].set_position("zero")
+    ax.spines[["right", "top"]].set_visible(False)
+    ax.xaxis.set_ticks_position("bottom")
+    hlx = 0.4
+    dx = t[-1, 0] - t[0, 0]
+    dy = 2 * ylim
+    hly = dy / dx * hlx
+    dps = fig.dpi_scale_trans.inverted()
+    bbox = ax.get_window_extent().transformed(dps)
+    width, height = bbox.width, bbox.height
+
+    # manual arrowhead width and length
+    hw = 1.0 / 60.0 * dy
+    hl = 1.0 / 30.0 * dx
+    lw = 0.5  # axis line width
+    ohg = 0.0  # arrow overhang
+
+    # compute matching arrowhead length and width
+    yhw = hw / dy * dx * height / width
+    yhl = hl / dx * dy * width / height
+
+    # draw x and y axis
+    ax.arrow(
+        t[-1, 0] - hl,
+        0,
+        hl,
+        0.0,
+        fc="k",
+        ec="k",
+        lw=lw,
+        head_width=hw,
+        head_length=hl,
+        overhang=ohg,
+        length_includes_head=True,
+        clip_on=False,
+    )
+
+    ax.arrow(
+        0,
+        ylim - yhl,
+        0.0,
+        yhl,
+        fc="k",
+        ec="k",
+        lw=lw,
+        head_width=yhw,
+        head_length=yhl,
+        overhang=ohg,
+        length_includes_head=True,
+        clip_on=False,
+    )
+
+    # fig.savefig(f"{img_path}/laguerre_poly.pgf")
+    fig.savefig(f"{img_path}/laguerre_poly.pdf")
+    # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py
new file mode 100644
index 0000000..4a714fa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py
@@ -0,0 +1,43 @@
+if __name__ == "__main__":
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+    import scipy.special
+
+    import gamma_approx as ga
+
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+    
+    xmax = 4
+    vals = np.linspace(-xmax + ga.EPSILON, xmax, 100)
+    x, y = np.meshgrid(vals, vals)
+    mesh = x + 1j * y
+    input = mesh.flatten()
+
+    lanczos = scipy.special.gamma(mesh)
+    lag = ga.eval_laguerre_gamma(input, n=8, func="optimal_shifted").reshape(mesh.shape)
+    rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(lanczos, lag))
+
+    fig, ax = plt.subplots(clear=True, constrained_layout=True, figsize=(3.5, 2.1))
+    _c = ax.pcolormesh(
+        x, y, rel_error, shading="gouraud", cmap=ga.cmap, norm=mpl.colors.LogNorm()
+    )
+    cbr = fig.colorbar(_c, ax=ax)
+    cbr.minorticks_off()
+    # ax.set_title("Relative Error")
+    ax.set_xlabel("Re($z$)")
+    ax.set_ylabel("Im($z$)")
+    minor_ticks = np.arange(-xmax, xmax + ga.EPSILON)
+    ticks = np.arange(-xmax, xmax + ga.EPSILON, 2)
+    ax.set_xticks(ticks)
+    ax.set_xticks(minor_ticks, minor=True)
+    ax.set_yticks(ticks)
+    ax.set_yticks(minor_ticks, minor=True)
+    fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_complex.pdf")
+    # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py
new file mode 100644
index 0000000..7348d5e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py
@@ -0,0 +1,38 @@
+if __name__ == "__main__":
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+    import scipy.special
+
+    import gamma_approx as ga
+    
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+
+    xmin = -15
+    xmax = 15
+    ns = np.arange(2, 12, 2)
+    ylim = np.array([-11, 1])
+    x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, 400)
+    gamma = scipy.special.gamma(x)
+    fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.5))
+    for n in ns:
+        gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="mirror")
+        rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)
+        ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$")
+    ax.set_xlim(x[0], x[-1])
+    ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim))
+    ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 5))
+    ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax), minor=True)
+    ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2))
+    ax.set_xlabel(r"$z$")
+    # ax.set_ylabel("Relativer Fehler")
+    ax.legend(ncol=1, loc="upper left", fontsize=ga.fontsize)
+    ax.grid(1, "both")
+    # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_mirror.pgf")
+    fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_mirror.pdf")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py
new file mode 100644
index 0000000..ece3b6d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py
@@ -0,0 +1,41 @@
+if __name__ == "__main__":
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+    import scipy.special
+
+    import gamma_approx as ga
+    
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+    N = 1201
+    xmax = 6
+    xmin = -xmax
+    ns = np.arange(2, 12, 2)
+    ylim = np.array([-11, -1.2])
+
+    x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, N)
+    gamma = scipy.special.gamma(x)
+    fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2))
+    for n in ns:
+        gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="optimal_shifted")
+        rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)
+        ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$")
+    ax.set_xlim(x[0], x[-1])
+    ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim))
+    ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 2))
+    ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON), minor=True)
+    ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2))
+    ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 1), "", minor=True)
+    ax.set_xlabel(r"$z$")
+    # ax.set_ylabel("Relativer Fehler")
+    ax.legend(ncol=1, loc="upper left", fontsize=ga.fontsize)
+    ax.grid(1, "both")
+    # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_range.pgf")
+    fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_range.pdf")
+    # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py
new file mode 100644
index 0000000..f53c89b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py
@@ -0,0 +1,40 @@
+if __name__ == "__main__":
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+    import scipy.special
+
+    import gamma_approx as ga
+
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+    n = 8  # order of Laguerre polynomial
+    N = 200  # number of points in interval
+
+    step = 1 / (N - 1)
+    x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1)
+    targets = np.arange(10, 14)
+    gamma = scipy.special.gamma(x)
+    fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.1))
+    for target in targets:
+        gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, target=target, n=n, func="shifted")
+        rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag))
+        ax.semilogy(x, rel_error, label=f"$m={target}$", linewidth=3)
+    gamma_lgo = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="optimal_shifted")
+    rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lgo))
+    ax.semilogy(x, rel_error, "m", linestyle=":", label="$m^*$", linewidth=3)
+    ax.set_xlim(x[0], x[-1])
+    ax.set_ylim(5e-9, 5e-8)
+    ax.set_xlabel(r"$z$")
+    ax.set_xticks(np.linspace(0, 1, 6))
+    ax.set_xticks(np.linspace(0, 1, 11), minor=True)
+    ax.grid(1, "both")
+    ax.legend(ncol=1, fontsize=ga.fontsize)
+    # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_shifted.pgf")
+    fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_shifted.pdf")
+    # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py
new file mode 100644
index 0000000..e1ea36a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py
@@ -0,0 +1,41 @@
+if __name__ == "__main__":
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+    import scipy.special
+
+    import gamma_approx as ga
+
+    # mpl.rc("text", usetex=True)
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+    # mpl.rcParams.update({"font.family": "serif", "font.serif": "TeX Gyre Termes"})
+
+    # Simple / naive
+    xmin = -5
+    xmax = 25
+    ns = np.arange(2, 12, 2)
+    ylim = np.array([-11, 6])
+    x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, 400)
+    gamma = scipy.special.gamma(x)
+    fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.5))
+    for n in ns:
+        gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n)
+        rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)
+        ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$")
+    ax.set_xlim(x[0], x[-1])
+    ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim))
+    ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 5))
+    ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax), minor=True)
+    ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2))
+    ax.set_xlabel(r"$z$")
+    # ax.set_ylabel("Relativer Fehler")
+    ax.legend(ncol=3, fontsize=ga.fontsize)
+    ax.grid(1, "both")
+    # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_simple.pgf")
+    fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_simple.pdf")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py b/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py
new file mode 100644
index 0000000..69f94ba
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py
@@ -0,0 +1,58 @@
+import numpy as np
+import scipy.special
+
+import gamma_approx as ga
+
+
+def find_best_loc(N=200, a=1.375, b=0.5, ns=None):
+    if ns is None:
+        ns = np.arange(2, 13)
+    bests = []
+    step = 1 / (N - 1)
+    x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1)
+    gamma = scipy.special.gamma(x)
+    for n in ns:
+        zeros, weights = np.polynomial.laguerre.laggauss(n)
+        est = np.ceil(b + a * n)
+        targets = np.arange(max(est - 2, 0), est + 3)
+        rel_error = []
+        for target in targets:
+            gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, target=target, x=zeros, w=weights, func="shifted")
+            rel_error.append(np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)))
+        rel_error = np.stack(rel_error, -1)
+        best = np.argmin(rel_error, -1) + targets[0]
+        bests.append(best)
+    return np.stack(bests, 0)
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    import matplotlib as mpl
+    import matplotlib.pyplot as plt
+
+    mpl.rcParams.update(
+        {
+            "mathtext.fontset": "stix",
+            "font.family": "serif",
+            "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+        }
+    )
+    
+    N = 200
+    ns = np.arange(1, 13)
+    
+    bests = find_best_loc(N, ns=ns)
+
+    fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(3.5, 2.1))
+    v = ax.imshow(bests, cmap=ga.cmap, aspect="auto", interpolation="nearest")
+    plt.colorbar(v, ax=ax, label=r"$m^*$")
+    ticks = np.arange(0, N + 1, N // 5)
+    ax.set_xlim(0, 1)
+    ax.set_xticks(ticks)
+    ax.set_xticklabels([f"{v:.2f}" for v in ticks / N])
+    ax.set_xticks(np.arange(0, N + 1, N // 20), minor=True)
+    ax.set_yticks(np.arange(len(ns)))
+    ax.set_yticklabels(ns)
+    ax.set_xlabel(r"$z$")
+    ax.set_ylabel(r"$n$")
+    # fig.savefig(f"{ga.img_path}/targets.pgf")
+    fig.savefig(f"{ga.img_path}/targets.pdf")