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path: root/buch/papers/laguerre
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authorhaddoucher <reda.haddouche@ost.ch>2022-08-16 14:36:07 +0200
committerhaddoucher <reda.haddouche@ost.ch>2022-08-16 14:36:07 +0200
commitf031b148a79d1dafb0e3405643be05e7a7eb1222 (patch)
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-rw-r--r--buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex21
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diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 6ba9135..b007c2d 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -97,41 +97,42 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
\begin{align*}
x \frac{dp}{dx}
=
--(\nu + 1 - x) p
+(\nu + 1 - x) p
\end{align*}
erfüllen muss.
Durch Separation erhalten wir dann
\begin{align*}
\int \frac{dp}{p}
& =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
+\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
=
--\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
+\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
\\
\log p
& =
--(\nu + 1)\log x - x + c
+(\nu + 1)\log x - x + c
\\
p(x)
& =
--C x^{\nu + 1} e^{-x}
+C x^{\nu + 1} e^{-x}
.
\end{align*}
Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
\begin{align*}
\frac{C}{w(x)}
\left(
-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} +
+-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} -
(\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx}
\right)
=
x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
\end{align*}
Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden,
-dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$.
-Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an,
-deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
-Definitionsbereich $(0, \infty)$.
+dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$. %mit $\nu \geq 0$.
+Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an.
+Ausserdem hat die Gewichtsfunktion $w(x)$ für negative $\nu$ einen Pol bei $x=0$,
+daher ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur für den
+Definitionsbereich $(0, \infty)$ geeignet.
\subsubsection{Randbedingungen}
Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen