Merge branch 'master' of github.com:AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen

37 files changed, 582 insertions, 217 deletions

diff --git a/buch/papers/nav/Makefile.inc b/buch/papers/nav/Makefile.inc
index b30377e..24ab4ee 100644
--- a/buch/papers/nav/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/nav/Makefile.inc
@@ -6,9 +6,11 @@
 dependencies-nav =						\
 	papers/nav/packages.tex					\
 	papers/nav/main.tex					\
-	papers/nav/references.bib				\
-	papers/nav/teil0.tex					\
-	papers/nav/teil1.tex					\
-	papers/nav/teil2.tex					\
-	papers/nav/teil3.tex
+	papers/nav/einleitung.tex				\
+	papers/nav/flatearth.tex				\
+	papers/nav/geschichte.tex				\
+	papers/nav/nautischesdreieck.tex			\
+	papers/nav/sincos.tex					\
+	papers/nav/trigo.tex					\
+	papers/nav/references.bib
 
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9d630aa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png
new file mode 100644
index 0000000..2b02105
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/ephe.png b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png
new file mode 100644
index 0000000..0aeef6f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png
new file mode 100644
index 0000000..b3188b7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png
new file mode 100644
index 0000000..057740f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png
new file mode 100644
index 0000000..97066a2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/projektion.png b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png
new file mode 100644
index 0000000..5dcc0c8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png
diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..8d8c5c1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,9 @@
+
+
+\section{Einleitung}
+Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. 
+Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. 
+Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt.
+Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. 
+Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? 
+In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex
new file mode 100644
index 0000000..bec242e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex
@@ -0,0 +1,27 @@
+
+
+\section{Warum ist die Erde nicht flach?}
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png}
+		\caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. 
+Die Fotos von unserem	Planeten oder die Berichte der Astronauten. 
+Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. 
+Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. 
+Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. 
+Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen.
+
+Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. 
+Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. 
+Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. 
+In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. 
+Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. 
+
+Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. 
+Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. 
+Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile
index c9dcacc..bbdea2f 100644
--- a/buch/papers/nav/images/Makefile
+++ b/buch/papers/nav/images/Makefile
@@ -50,7 +50,8 @@ DREIECKE3D =								\
 	dreieck3d4.pdf							\
 	dreieck3d5.pdf							\
 	dreieck3d6.pdf							\
-	dreieck3d7.pdf
+	dreieck3d7.pdf							\
+	dreieck3d8.pdf
 
 dreiecke3d: $(DREIECKE3D)
 
@@ -106,3 +107,10 @@ dreieck3d7.jpg:	dreieck3d7.png
 dreieck3d7.pdf:	dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg
 	pdflatex dreieck3d7.tex
 
+dreieck3d8.png:	dreieck3d8.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov
+dreieck3d8.jpg:	dreieck3d8.png
+	convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg
+dreieck3d8.pdf:	dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg
+	pdflatex dreieck3d8.tex
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc
index 33d9384..e2a1ed0 100644
--- a/buch/papers/nav/images/common.inc
+++ b/buch/papers/nav/images/common.inc
@@ -97,13 +97,13 @@ union {
 	}
 #end
 
-#macro winkel(w, p, q, staerke)
+#macro winkel(w, p, q, staerke, r)
 	#declare n = vnormalize(w);
 	#declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n);
 	#declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n);
 	intersection {
 		sphere { <0, 0, 0>, 1 + staerke }
-		cone { <0, 0, 0>, 0, 1.2 * vnormalize(w), 0.4 }
+		cone { <0, 0, 0>, 0, 1.2 * vnormalize(w), r }
 		plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 }
 		plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 }
 	}
@@ -113,8 +113,30 @@ union {
 	sphere { p, 1.5 * staerke }
 #end
 
+#macro dreieck(p, q, r, farbe)
+	#declare n1 = vnormalize(vcross(p, q));
+	#declare n2 = vnormalize(vcross(q, r));
+	#declare n3 = vnormalize(vcross(r, p));
+	intersection {
+		plane { n1, 0 }
+		plane { n2, 0 }
+		plane { n3, 0 }
+		sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 }
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			metallic
+			specular 0.4
+		}
+	}
+#end
+
 #declare fett = 0.015;
-#declare fine = 0.010;
+#declare fein = 0.010;
+
+#declare klein = 0.3;
+#declare gross = 0.4;
 
 #declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>;
 #declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>;
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..015bce7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
index 8afe60e..e491075 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
@@ -12,9 +12,9 @@ union {
 	punkt(A, fett)
 	punkt(B, fett)
 	punkt(C, fett)
-	punkt(P, fine)
-	seite(B, P, fine)
-	seite(C, P, fine)
+	punkt(P, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	seite(C, P, fein)
 	pigment {
 		color dreieckfarbe
 	}
@@ -25,7 +25,7 @@ union {
 }
 
 object {
-	winkel(A, B, C, fine)
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
 	pigment {
 		color rot
 	}
@@ -36,7 +36,7 @@ object {
 }
 
 object {
-	winkel(B, C, A, fine)
+	winkel(B, C, A, fein, gross)
 	pigment {
 		color gruen
 	}
@@ -47,7 +47,7 @@ object {
 }
 
 object {
-	winkel(C, A, B, fine)
+	winkel(C, A, B, fein, gross)
 	pigment {
 		color blau
 	}
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..6b3f09d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
index c23a54c..c0625ce 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
@@ -12,9 +12,9 @@ union {
 	punkt(A, fett)
 	punkt(B, fett)
 	punkt(C, fett)
-	punkt(P, fine)
-	seite(B, P, fine)
-	seite(C, P, fine)
+	punkt(P, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	seite(C, P, fein)
 	pigment {
 		color dreieckfarbe
 	}
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7d79455
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
index f2496b5..b6f64d5 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
@@ -12,9 +12,9 @@ union {
 	punkt(A, fett)
 	punkt(B, fett)
 	punkt(C, fett)
-	punkt(P, fine)
-	seite(B, P, fine)
-	seite(C, P, fine)
+	punkt(P, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	seite(C, P, fein)
 	pigment {
 		color dreieckfarbe
 	}
@@ -25,7 +25,7 @@ union {
 }
 
 object {
-	winkel(A, B, C, fine)
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
 	pigment {
 		color rot
 	}
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e1ea757
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
index bddcf7c..b6f17e3 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
@@ -6,9 +6,9 @@
 #include "common.inc"
 
 union {
-	seite(A, B, fine)
-	seite(A, C, fine)
-	punkt(A, fine)
+	seite(A, B, fein)
+	seite(A, C, fein)
+	punkt(A, fein)
 	punkt(B, fett)
 	punkt(C, fett)
 	punkt(P, fett)
@@ -25,7 +25,7 @@ union {
 }
 
 object {
-	winkel(B, C, P, fine)
+	winkel(B, C, P, fein, gross)
 	pigment {
 		color rgb<0.6,0.4,0.2>
 	}
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0c86d36
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
index 32fc9e6..188f181 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
@@ -6,9 +6,9 @@
 #include "common.inc"
 
 union {
-	seite(A, B, fine)
-	seite(A, C, fine)
-	punkt(A, fine)
+	seite(A, B, fein)
+	seite(A, C, fein)
+	punkt(A, fein)
 	punkt(B, fett)
 	punkt(C, fett)
 	punkt(P, fett)
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
index 7611950..191a1e7 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
@@ -25,7 +25,7 @@ union {
 }
 
 object {
-	winkel(B, A, P, fine)
+	winkel(B, A, P, fein, gross)
 	pigment {
 		color rgb<0.6,0.2,0.6>
 	}
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
index fa48f5b..aae5c6c 100644
--- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
@@ -10,13 +10,13 @@ union {
 	seite(A, P, fett)
 	seite(C, P, fett)
 
-	seite(A, B, fine)
-	seite(B, C, fine)
-	seite(B, P, fine)
+	seite(A, B, fein)
+	seite(B, C, fein)
+	seite(B, P, fein)
 	punkt(A, fett)
 	punkt(C, fett)
 	punkt(P, fett)
-	punkt(B, fine)
+	punkt(B, fein)
 	pigment {
 		color dreieckfarbe
 	}
@@ -27,7 +27,7 @@ union {
 }
 
 object {
-	winkel(A, P, C, fine)
+	winkel(A, P, C, fein, gross)
 	pigment {
 		color rgb<0.4,0.4,1>
 	}
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
new file mode 100644
index 0000000..52bd25e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9d630aa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
new file mode 100644
index 0000000..9e9921a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
@@ -0,0 +1,96 @@
+//
+// dreiecke3d8.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	seite(A, P, fein)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, klein)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, C, A, fein, klein)
+	pigment {
+		color gruen
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(C, A, B, fein, gross)
+	pigment {
+		color blau
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, P, C, fein/2, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.8,0,0.8>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, P, C, fein, klein)
+	pigment {
+		color rgb<1,0.8,0>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, P, A, fein/2, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.4,0.6,0.8>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+dreieck(A, B, C, White)
+
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex
new file mode 100644
index 0000000..c59c7b0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+%
+% dreieck3d8.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d8.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+\node at (-0.8,0) {$l$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+\node at (0.7,3.3) {$\alpha$};
+\node at (0.8,2.85) {$\omega$};
+\node at (-2.6,-0.6) {$\beta$};
+\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+\node at (-2.6,-1.3) {$\beta_1$};
+\node at (-2.1,-0.8) {$\kappa$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex
index e11e2c0..47764e8 100644
--- a/buch/papers/nav/main.tex
+++ b/buch/papers/nav/main.tex
@@ -3,34 +3,19 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:nav}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Spährische Navigation\label{chapter:nav}}
+\lhead{Sphärische Navigation}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Enez Erdem und Marc Kühne}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
 
-\input{papers/nav/teil0.tex}
-\input{papers/nav/teil1.tex}
-\input{papers/nav/teil2.tex}
-\input{papers/nav/teil3.tex}
+
+\input{papers/nav/einleitung.tex}
+\input{papers/nav/flatearth.tex}
+\input{papers/nav/sincos.tex}
+\input{papers/nav/trigo.tex}
+\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex}
+
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
new file mode 100644
index 0000000..0a498f0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
@@ -0,0 +1,198 @@
+\section{Das Nautische Dreieck}
+\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks}
+Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel. 
+Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.
+Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol.
+
+Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird.
+Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. 
+Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert.
+
+Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge:
+\begin{itemize}
+	\item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $
+	\item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$
+	\item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$
+	\item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$
+	\item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$
+\end{itemize}
+Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende:
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ c c c }
+		Winkel && Name / Beziehung \\ 
+		\hline
+		$\alpha$ && Rektaszension \\  
+		$\delta$ && Deklination \\
+		$\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\
+		$\phi$  &&  Geographische Breite\\
+		$\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\
+		$a$ &&      Azimut\\
+		$h$ &&      Höhe
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel}
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png}
+		\caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+Wie man im oberen Bild sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. 
+Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren und es hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. 
+Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet.
+
+
+\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel}
+Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. 
+Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
+		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+
+
+
+\subsection{Ecke $P$ und $A$}
+Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol.
+Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. 
+Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel.
+
+\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt X und Y}
+Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. 
+Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen.
+Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn.
+
+\subsection{Ephemeriden}
+Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. 
+In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit.
+Da diese Angaben in Stundenabständen gegeben sind, muss man für die minutengenaue Bestimmung zwischen den Stunden interpolieren.
+Was diese Begriffe bedeuten, wird in den kommenden beiden Abschnitten erklärt.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=18cm]{papers/nav/bilder/ephe.png}
+		\caption[Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022]{Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Deklination}
+Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad.
+
+\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension}
+Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus.
+Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. 
+Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel  ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar.
+Die Lösung ist die Sternzeit. 
+Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die 
+Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit
+$\theta = 0$. 
+
+Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet.
+Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. 
+Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt.
+Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich
+
+$\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$.
+
+Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. 
+Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn.
+
+\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P}
+Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols.
+Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$.
+Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
+		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+
+\subsubsection{Dreieck $ABC$}
+
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ c c c }
+		Ecke && Name  \\ 
+		\hline
+		$A$ && Nordpol \\  
+		$B$ && Bildpunkt des Gestirns $X$ \\
+		$C$&& Bildpunkt des Gestirns $Y$
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen.
+
+Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. 
+Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. 
+
+Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt Y" sei $b$.
+Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. 
+
+Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$.
+Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. 
+
+mit 
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ c c c }
+		Ecke && Name  \\ 
+		\hline
+		$\delta_1$ && Deklination Bildpunkt $X$ \\  
+		$\delta_2$ && Deklination Bildpunk $Y$ \\
+		$\lambda_1 $&& Längengrad Bildpunkt $X$\\
+		$\lambda_2$ && Längengrad Bildpunkt $Y$
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag!
+
+Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. 
+Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes 
+$\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ 
+können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. 
+Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. 
+
+Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$.
+Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$.
+Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. 
+Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. 
+Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $.
+
+Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet.
+
+\subsubsection{Dreieck $BPC$}
+Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. 
+Die dritte Ecke ist der eigene Standort P.
+Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. 
+
+Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$.
+Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ 
+
+mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen.
+
+Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes  mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen.
+\subsubsection{Dreieck $ABP$}
+Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen.
+
+Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta1$.
+
+Somit ist $\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$
+
+und
+
+\[
+\delta  =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)].
+\]
+
+Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. 
+
+Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich 
+\[\lambda=\lambda_1 - \omega\]
+mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X
diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex
index 9faa48d..5b87303 100644
--- a/buch/papers/nav/packages.tex
+++ b/buch/papers/nav/packages.tex
@@ -8,3 +8,4 @@
 % following example
 %\usepackage{packagename}
 
+\usepackage{amsmath}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex
new file mode 100644
index 0000000..bb7f1e4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/sincos.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+
+
+
+\section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen}
+Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. 
+Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. 
+
+Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. 
+In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen mithilfe des Sternkataloges von Hipparchos angestellt und darauffolgend Kartenmaterial erstellt.
+In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. 
+Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen.
+Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. 
+Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann.
+Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen.
+Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. 
+
+
+Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. 
+Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/teil0.tex b/buch/papers/nav/teil0.tex
deleted file mode 100644
index f3323a9..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{nav:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{nav:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil1.tex b/buch/papers/nav/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 996202f..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{nav:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{nav:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{nav:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{nav:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil2.tex b/buch/papers/nav/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 5a52e03..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{nav:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil3.tex b/buch/papers/nav/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 2b5d2d5..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{nav:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
new file mode 100644
index 0000000..cf2f242
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -0,0 +1,98 @@
+
+\section{Sphärische Trigonometrie}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie:
+\begin{center}
+
+
+\begin{tabular}{ccc}
+	Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\
+	\hline
+	$a$ & $\leftrightarrow$  & $\sin \ a$  \\
+	
+	$a^2$ & $\leftrightarrow$  & $-\cos \ a$ \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsection{Das Kugeldreieck}
+
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
+$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
+Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. 
+Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. 
+
+Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
+Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
+Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$. 
+
+Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
+Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
+Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
+	\end{center}
+	
+\end{figure}
+
+\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
+Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
+Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
+
+\subsection{Winkelsumme}
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+
+Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
+Für die Summe der Innenwinkel gilt
+\begin{align}
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber
+\end{align}
+\subsubsection{Sphärischer Exzess}
+Der sphärische Exzess
+\begin{align}
+	\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber
+\end{align}  
+beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
+
+\subsubsection{Flächeninnhalt}
+Der Flächeninhalt $A$ lässt sich aus den Winkeln $\alpha,\ \beta, \ \gamma$ und dem Kugelradius $r$ berechnen.
+\subsection{Sphärischer Sinussatz}
+In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
+
+Das bedeutet, dass
+
+\begin{align}
+	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.}
+\end{align}
+
+\subsection{Sphärischer Kosinussätze}
+Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
+\begin{align}
+	cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
+\end{align} %Seitenkosinussatz
+und den Winkelkosinussatz
+
+\begin{align}
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c \nonumber
+\end{align}
+
+\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
+
+Es gilt nämlich:
+\begin{align}
+	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
+	\alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
+\end{align}
+ 
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