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--- /dev/null
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png
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index e24f294..8d8c5c1 100644
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+++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex
@@ -1,9 +1,9 @@
 
 
 \section{Einleitung}
-Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. 
-Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. 
+Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. 
+Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. 
 Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt.
 Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. 
 Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? 
-In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet.
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+In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet.
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index fbabbde..bec242e 100644
--- a/buch/papers/nav/flatearth.tex
+++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex
@@ -2,7 +2,7 @@
 
 \section{Warum ist die Erde nicht flach?}
 
-\begin{figure}[h]
+\begin{figure}
 	\begin{center}
 		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png}
 		\caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion}
@@ -14,10 +14,14 @@ Die Fotos von unserem	Planeten oder die Berichte der Astronauten.
 Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. 
 Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. 
 Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. 
-Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen.
+Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen.
+
 Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. 
-Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. 
+Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. 
+Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. 
 In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. 
 Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. 
-Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. 
+
+Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. 
+Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. 
 Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen.
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deleted file mode 100644
index a20eb6d..0000000
--- a/buch/papers/nav/geschichte.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-\documentclass[12pt]{scrartcl}
-\usepackage{ucs}
-\usepackage[utf8]{inputenc}
-\usepackage[T1]{fontenc}
-\usepackage{graphicx}
-
-\begin{document}
-\section{Geschichte der sphärischen Navigation}
-Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. 
-Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. 
-Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. 
-Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. 
-Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. 
-Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. 
-Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. 
-Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. 
-Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. 
-Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. 
-Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. 
-Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen.  
-Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen.
-\end{document}
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index b61e908..a85b119 100644
--- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
+++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
@@ -1,17 +1,13 @@
 \section{Das Nautische Dreieck}
 \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks}
-Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. 
-Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\
-Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken:
-\begin{itemize}
-	\item Zenit 
-	\item Gestirn
-	\item Himmelspol
-\end{itemize}
+Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel}. 
+Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.
+Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol.
+
 Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird.
 Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. 
 Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert.
-\\
+
 Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge:
 \begin{itemize}
 	\item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $
@@ -21,34 +17,30 @@ Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfach
 	\item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$
 \end{itemize}
 Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende:
-
-$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $
-
-$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns 
-
-$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit\ von\ Greenwich$
-
-$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $
-
-$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns 
-
-$a \ \widehat{=} \ Azimut $
-
-$h \ \widehat{=} \ Hoehe$
-
-
-
-\newpage
-\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel}
-\begin{figure}[h]
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ c c c }
+		Winkel && Name / Beziehung \\ 
+		\hline
+		$\alpha$ && Rektaszension \\  
+		$\delta$ && Deklination \\
+		$\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\
+		$\phi$  &&  Geographische Breite\\
+		$\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\
+		$a$ &&      Azimut\\
+		$h$ &&      Höhe
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel}
+\begin{figure}
 	\begin{center}
-		\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png}
+		\includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png}
 		\caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck}
 	\end{center}
 \end{figure}
 
-Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. 
-Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. 
+Wie man im oberen Bild sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. 
+Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren und es hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. 
 Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet.
 
 
@@ -56,9 +48,9 @@ Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem
 Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. 
 Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen.
 
-\begin{figure}[h]
+\begin{figure}
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
 		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
 	\end{center}
 \end{figure}
@@ -66,75 +58,76 @@ Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann di
 
 
 
-\subsection{Ecke P - Unser Standort}
-Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. 
-
-\subsection{Ecke A - Nordpol}
-Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. 
+\subsection{Ecke $P$ und $A$}
+Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol.
+Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. 
 Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel.
-\newpage
-\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt X und Y}
+
+\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt X und Y}
 Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. 
 Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen.
-\\
-Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann.
-\begin{itemize}
-	\item Sonne
-	\item Mond
-	\item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn
-\end{itemize} 
+Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn.
+
+\subsection{Ephemeriden}
+Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. 
+In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit.
+Da diese Angaben in Stundenabständen gegeben sind, muss man für die minutengenaue Bestimmung zwischen den Stunden interpolieren.
+Was diese Begriffe bedeuten, wird in den kommenden beiden Abschnitten erklärt.
 
-Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). 
-Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und  Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren.
-Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen.
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=18cm]{papers/nav/bilder/ephe.png}
+		\caption[Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022]{Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Deklination}
+Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad.
 
 \subsubsection{Sternzeit und Rektaszension}
-Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. 
+Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus.
 Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. 
 Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel  ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar.
 Die Lösung ist die Sternzeit. 
+Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die 
 Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit
 $\theta = 0$. 
 
 Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet.
 Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. 
-Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt.
+Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt.
 Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich
-\\
-\\
-$T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$.
-\\
-\\
-Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. 
-Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn.
 
-\subsubsection{Deklination}
-Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad.
+$\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$.
 
+Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. 
+Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn.
 
-\newpage
 \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P}
 Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols.
-Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen.
-
+Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$.
+Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant.
 
-\begin{figure}[h]
+\begin{figure}
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=4.5cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
 		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
 	\end{center}
 \end{figure}
 
 
-\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks}
-
-$A=$ Nordpol
+\subsubsection{Dreieck $ABC$}
 
-$B=$ Bildpunkt des Gestirns X
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ c c c }
+		Ecke && Name  \\ 
+		\hline
+		$A$ && Nordpol \\  
+		$B$ && Bildpunkt des Gestirns $X$ \\
+		$C$&& Bildpunkt des Gestirns $Y$
+	\end{tabular}
+\end{center}
 
-$C=$ Bildpunkt des Gestirns Y
-\\
-\\
 Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen.
 
 Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. 
@@ -145,24 +138,24 @@ Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$.
 
 Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$.
 Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. 
-\\
-\\
-mit 
-
-$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt X
 
-$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk Y
-
-$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt X
-
-$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt Y
+mit 
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ c c c }
+		Ecke && Name  \\ 
+		\hline
+		$\delta_1$ && Deklination Bildpunkt $X$ \\  
+		$\delta_2$ && Deklination Bildpunk $Y$ \\
+		$\lambda_1 $&& Längengrad Bildpunkt $X$\\
+		$\lambda_2$ && Längengrad Bildpunkt $Y$
+	\end{tabular}
+\end{center}
 
 Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag!
-\\
-\\
+
 Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. 
 Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes 
-$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ 
+$\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ 
 können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. 
 Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. 
 
@@ -174,7 +167,7 @@ Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $.
 
 Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet.
 
-\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks}
+\subsubsection{Dreieck $BPC$}
 Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. 
 Die dritte Ecke ist der eigene Standort P.
 Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. 
@@ -183,24 +176,23 @@ Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$.
 Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ 
 
 mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen.
-\\
 
+Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes  mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen.
+\subsubsection{Dreieck $ABP$}
 Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen.
 
-Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa$. 
-Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen und anschliessend $\beta + \beta1 =\kappa$.
+Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta1$.
 
-Somit ist $cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$
+Somit ist $\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$
 
 und
 
-$\delta  =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]$.
-\\
+\[
+\delta  =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)].
+\]
 
 Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. 
-\\
 
-Somit ist $\omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}]$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich 
-$\lambda=\lambda_1 - \omega$ mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX.
-\newpage
-\listoffigures
\ No newline at end of file
+Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich 
+\[\lambda=\lambda_1 - \omega\]
+mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX.
diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex
index 23e3303..bb7f1e4 100644
--- a/buch/papers/nav/sincos.tex
+++ b/buch/papers/nav/sincos.tex
@@ -1,16 +1,19 @@
 
 
 
-\section{Warum sind die Sinus- und Kosinusfunktionen spezielle Funktionen?}
-Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen (Himmelskörper) zu berechnen. 
-Jedoch konnten sie sie nicht lösen. 
-Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. 
-In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen zu diesem Thema angestellt. 
+\section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen}
+Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. 
+Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. 
+
+Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. 
+In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen mithilfe des Sternkataloges von Hipparchos angestellt und darauffolgend Kartenmaterial erstellt.
 In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. 
 Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen.
-Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um 900 den Sinussatz. 
-Zur Zeit der großen Entdeckungsreisen im 15. Jahrhundert wurden die Forschungen in sphärischer Trigonometrie wieder forciert. 
-Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet. 
-Im nächsten Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. 
+Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. 
+Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann.
+Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen.
+Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. 
+
+
 Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. 
 Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
index 8b4634f..cf2f242 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,18 +1,38 @@
-\setlength{\parindent}{0em}
+
 \section{Sphärische Trigonometrie}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie:
+\begin{center}
+
+
+\begin{tabular}{ccc}
+	Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\
+	\hline
+	$a$ & $\leftrightarrow$  & $\sin \ a$  \\
+	
+	$a^2$ & $\leftrightarrow$  & $-\cos \ a$ \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
 \subsection{Das Kugeldreieck}
 
-Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC.
-A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
+$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
+Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. 
+Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. 
+
+Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
 Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
-Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. 
-Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. 
+Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$. 
+
 Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
 Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
-\begin{figure}[h]
+
+\begin{figure}
 	\begin{center}
-		%\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
 		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
 	\end{center}
 	
@@ -21,12 +41,12 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
 Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
 Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
-\newpage
-\subsection{Winkelangabe}
-\begin{figure}[h]
+
+\subsection{Winkelsumme}
+\begin{figure}
 	
 	\begin{center}
-		%\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
 		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
 	\end{center}	
 \end{figure}
@@ -37,13 +57,15 @@ Für die Summe der Innenwinkel gilt
 \begin{align}
 	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber
 \end{align}
-
+\subsubsection{Sphärischer Exzess}
 Der sphärische Exzess
 \begin{align}
 	\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber
 \end{align}  
 beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
 
+\subsubsection{Flächeninnhalt}
+Der Flächeninhalt $A$ lässt sich aus den Winkeln $\alpha,\ \beta, \ \gamma$ und dem Kugelradius $r$ berechnen.
 \subsection{Sphärischer Sinussatz}
 In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
 
@@ -53,7 +75,16 @@ Das bedeutet, dass
 	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.}
 \end{align}
 
+\subsection{Sphärischer Kosinussätze}
+Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
+\begin{align}
+	cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
+\end{align} %Seitenkosinussatz
+und den Winkelkosinussatz
 
+\begin{align}
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c \nonumber
+\end{align}
 
 \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
@@ -62,6 +93,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Se
 Es gilt nämlich:
 \begin{align}
 	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
-	\alpha = \frac{\pi}{2} \lor \beta =\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2}.\nonumber
+	\alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
 \end{align}
  
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