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--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Anwendung in der Physik 
-\label{parzyl:section:teil2}}
-\rhead{Anwendung in der Physik}
+\section{Eigenschaften
+	\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
 
-Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
-\begin{figure}
-	\centering
-	\begin{minipage}{.7\textwidth}
-		 \centering
-		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
-		\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
-		\label{parzyl:fig:leiterplatte}
-	\end{minipage}%
-	\begin{minipage}{.25\textwidth}
-		\centering
-	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
-	\caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
-	\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
-	\end{minipage}
-\end{figure}
-Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
-Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
-
-
-Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
-\begin{equation}
-	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
-\end{equation}  
-Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
-\begin{equation}
-	\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} 
-	=
-	\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} 
-	\qquad
-	\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
-	=
-	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
-\end{equation}
-gelten.
-Aus dieser Bedingung folgt 
-\begin{equation}
-	\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
-	\underbrace{
-	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
-	+ 
-	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
-	=
-	0
-	}_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
-	\qquad
-	\underbrace{
-	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
-	+
-	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
-	=
-	0
-	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
-\end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
-
- 
-Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
-\begin{equation}
-	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
-\end{equation}
-Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
-
-
-Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
-\begin{equation}
-	\phi(x,y) = U(x,y).
-\end{equation}
-Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
-\begin{equation}
-	E(x,y) = V(x,y).
-\end{equation}
-
-
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
-komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
-welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
-
-
-Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
-\begin{equation}
-	F(s) 
-	= 
-	\sqrt{s} 
+\subsection{Potenzreihenentwicklung
+	\label{parzyl:potenz}}
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
+\begin{align}
+	w_1(\alpha,x)
+	&=  
+	e^{-x^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
 	= 
-	\sqrt{x + iy}.
-\end{equation}
-Dies kann umgeformt werden zu
-\begin{equation}
-	F(s) 
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\left ( 
+	1 
+	+
+	\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
+	+
+	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+	w_2(\alpha,x)
+	&=  
+	xe^{-x^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	{\textstyle \frac{1}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
 	= 
-	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
-	+ 
-	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
-	.
-\end{equation}
+	xe^{-\frac{x^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\left ( 
+	x 
+	+
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
+	+
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+sind.
 
 
-Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
-indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen. 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden 
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
 \begin{equation}
+	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 %	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 	c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 \end{equation}
-Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
-%	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
-	c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
-beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
-%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
-%\begin{equation}
-%	x = \sigma \tau,
-%\end{equation}
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
+\subsection{Ableitung}
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ 
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
+\end{equation} 
+und
 %\begin{equation}
-%	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
 %\end{equation}
-%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
-Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
-\begin{align}
-	x &=  c_1^2 - c_2^2 ,\\
-	y &= 2c_1 c_2,
-\end{align}
-so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung 
-zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
-
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+	x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+	{}_{1} F_{1} (
+	{\textstyle \frac{3}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
+	\right)
+\end{equation}
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.