Merge branch 'master' of github.com:LordMcFungus/SeminarSpezielleFunktionen

5 files changed, 63 insertions, 36 deletions

diff --git a/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c52c336
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 1f23d6e..3b14287 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -4,42 +4,65 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
-Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
-parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
-\subsection{Laplace Gleichung}
-Die partielle Differentialgleichung
-\begin{equation}
-    \Delta f = 0
-\end{equation}
-ist als Laplace-Gleichung bekannt.
-Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+\rhead{Einleitung}
+%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
+%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
+%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+
+\subsection{Helmholtz-Gleichung}
+Die partielle Differentialgleichung 
 \begin{equation}
-    \Delta f = g
+	\nabla f = \lambda f
 \end{equation}
-mit $g$ als beliebiger Funktion.
-In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
-verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
-Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
 \begin{equation}
-     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
-\label{parzyl:eq:max1}
+	\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}  \right ) u(\textbf{r},t)
+	=
+	0 
 \end{equation}
-besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem 
-Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
-Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
-Potentials
+mit Hilfe von Separation
 \begin{equation}
-    \nabla \phi = E.
-\end{equation}
-Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+	u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
+\end{equation} 
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist
 \begin{equation}
-    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+	\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
 \end{equation}
-was eine Poisson-Gleichung ist.
-An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
+
+%\subsection{Laplace Gleichung}
+%Die partielle Differentialgleichung
+%\begin{equation}
+%    \Delta f = 0
+%\end{equation}
+%ist als Laplace-Gleichung bekannt.
+%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+%\begin{equation}
+%    \Delta f = g
+%\end{equation}
+%mit $g$ als beliebiger Funktion.
+%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
+%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
+%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
+%\begin{equation}
+%     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
+%\label{parzyl:eq:max1}
+%\end{equation}
+%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem 
+%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
+%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
+%Potentials
+%\begin{equation}
+%    \nabla \phi = E.
+%\end{equation}
+%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+%\begin{equation}
+%    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+%\end{equation}
+%was eine Poisson-Gleichung ist.
+%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
 Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index a52665b..b02a1bf 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 %
 \section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
+\rhead{Lösung}
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit
 Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden.
 \begin{definition}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index aaea42b..4af6860 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -5,12 +5,15 @@
 %
 \section{Anwendung in der Physik 
 \label{parzyl:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
+\rhead{Anwendung in der Physik}
 
-
-\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte
-\label{parzyl:subsection:bonorum}}
-Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will.
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
+\begin{figure}
+	 \centering
+	\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
+	\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+	\label{parzyl:fig:leiterplatte}
+\end{figure}
 Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
 Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 12b7519..972fd33 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -5,7 +5,8 @@
 %
 \section{Eigenschaften
 \label{parzyl:section:Eigenschaften}}
-\rhead{Teil 3}
+\rhead{Eigenschaften}
+
 \subsection{Potenzreihenentwicklung
 	\label{parzyl:potenz}}
 Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden