Merge branch 'master' of github.com:LordMcFungus/SeminarSpezielleFunktionen

3 files changed, 100 insertions, 100 deletions

diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex
index 01a8d59..0996007 100644
--- a/buch/papers/parzyl/main.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/main.tex
@@ -16,7 +16,6 @@ parabolischen Zyplinderkoordinatensystem genauer untersucht.
 \input{papers/parzyl/teil0.tex}
 \input{papers/parzyl/teil1.tex}
 \input{papers/parzyl/teil2.tex}
-\input{papers/parzyl/teil3.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 650428f..a77398d 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -68,7 +68,6 @@ und
 Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
 Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
-
 Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
 können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
 Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei 
@@ -124,3 +123,103 @@ Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen
 Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren
 mitgerechnet werden. 
 \dots
+\subsection{Lösung der Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
+Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
+\begin{equation}
+	\Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) 
+\end{equation}
+im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
+\begin{equation}
+	\Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) 
+\end{equation}
+gelöst wird.
+Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
+\begin{equation}
+	\nabla 
+	= 
+	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+	\left ( 
+	\frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} 
+	+ 
+	\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
+	\right )
+	+ 
+	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
+\end{equation}
+Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
+\begin{equation}
+	\nabla f(\sigma, \tau, z)
+	=
+	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+	\left ( 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} 
+	+ 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
+	\right )
+	+ 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
+	= 
+	\lambda f(\sigma,\tau,z)
+\end{equation}
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
+\begin{equation}
+	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
+\end{equation}
+gesetzt. 
+Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
+	g''(\sigma) 
+	- 
+	\left (
+	\lambda\sigma^2
+	+
+	\mu 
+	\right )
+	g(\sigma)
+	=
+	0,
+\end{equation}
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
+	h''(\tau) 
+	- 
+	\left (
+	\lambda\tau^2
+	-
+	\mu 
+	\right )
+	h(\tau)
+	=
+	0
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
+	i''(z) 
+	+
+	\left (
+	\lambda
+	+
+	\mu 
+	\right )
+	i(\tau)
+	=
+	0
+\end{equation}
+führt.
+Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
+\begin{equation}
+	i(z) 
+	= 
+	A\cos{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+	+
+	B\sin{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+\end{equation}
+ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
+
+
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 0364056..4e44bd6 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -6,101 +6,3 @@
 \section{Teil 3
 \label{parzyl:section:teil3}}
 \rhead{Teil 3}
-\subsection{Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
-\label{parzyl:subsection:malorum}}
-Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
-\begin{equation}
-	\Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) 
-\end{equation}
-im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
-\begin{equation}
-	\Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) 
-\end{equation}
-gelöst wird.
-Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
-\begin{equation}
-	\nabla 
-	= 
-	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
-	\left ( 
-	\frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} 
-	+ 
-	\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
-	\right )
-	+ 
-	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
-\end{equation}
-Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
-\begin{equation}
-	\nabla f(\sigma, \tau, z)
-	=
-	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
-	\left ( 
-	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} 
-	+ 
-	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
-	\right )
-	+ 
-	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
-	= 
-	\lambda f(\sigma,\tau,z)
-\end{equation}
-Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
-\begin{equation}
-	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
-\end{equation}
-gesetzt. 
-Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
-	g''(\sigma) 
-	- 
-	\left (
-	\lambda\sigma^2
-	+
-	\mu 
-	\right )
-	g(\sigma)
-	=
-	0,
-\end{equation}
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
-	h''(\tau) 
-	- 
-	\left (
-	\lambda\tau^2
-	-
-	\mu 
-	\right )
-	h(\tau)
-	=
-	0
-\end{equation}
-und
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
-	i''(z) 
-	+
-	\left (
-	\lambda
-	+
-	\mu 
-	\right )
-	i(\tau)
-	=
-	0
-\end{equation}
-führt.
-Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
-\begin{equation}
-	i(z) 
-	= 
-	A\cos{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
-		\right )}
-	+
-	B\sin{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
-		\right )}
-\end{equation}
-ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.