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Sturmliouville/erik branch

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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index cef276b..8616172 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -116,90 +116,5 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$
 gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert.
 
 Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
-Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
+Lösungsfunktion $y$ eines regulären Sturm-Liouville-Problems eine
 Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss.
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-\iffalse
-
-\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen
-%\label{sturmliouville:section:solution-properties}
-}
-\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
-Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
-zustande kommen.
-
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in
-Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
-wurde, noch etwas genauer angeschaut.
-Es wird also im Folgenden
-\[
-    L_0
-    =
-    -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
-\]
-zusammen mit den Randbedingungen
-\[
-    \begin{aligned}
-        k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-        k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
-    \end{aligned}
-\]
-verwendet.
-Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits 
-gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
-selbsadjungiert zu machen.
-Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
-für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
-
-\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
-
-Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
-den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
-
-Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
-diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
-
-Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu 
-zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
-\[
-    \langle Av, w \rangle
-    =
-    \langle v, Aw \rangle
-\]
-für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
-Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
-Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
-
-Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
-Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
-Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
-Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
-Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
-Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
-also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-falls er selbstadjungiert ist.
-
-\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
-
-Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
-Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
-Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
-des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
-Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
-
-Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
-erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
-des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
-Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-Basisfunktionen ist.
-
-\fi
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 4701b8a..2299c3c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -5,16 +5,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-% TODO:
-% order:
-%   1. State goal of showing examples in intro
-%   2. Show Sturm-Liouville form
-%   3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples
-%      (make singular property brief)
-%
-% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions
-% Check for readability 
-
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
 \rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
 Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
@@ -22,14 +12,10 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
 französischen Mathematiker Joseph Liouville.
 Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
 entwickelt.
-Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
-jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen
-Differentialgleichungen.
-Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
-Differentialgleichung 2. Ordnung.
-Wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche
-Differentialgleichungen umwandeln. 
+Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
+Handelt es sich um eine partielle
+Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in
+mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln.
 
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
@@ -45,15 +31,16 @@ als
 	=
 	0 
 \end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
-bezeichnet.
+geschrieben werden kann, dann wird die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als 
+Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
 \end{definition}
 Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
 in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} 
 umgewandelt werden.
 
 Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
 
 \subsection{Randbedingungen
 \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
@@ -78,9 +65,9 @@ Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
 Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
 oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben
 einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
-im nächsten Kapitel diskutiert.
+im nächsten Abschnitt diskutiert.
 
 %
 %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
@@ -105,8 +92,8 @@ Bedingungen beachtet werden.
 		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
-Sturm-Liouville-Problem.
+Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um
+ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
@@ -131,6 +118,7 @@ Sturm-Liouville-Problem.
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere
-Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung
-eindeutig ist.
+Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren.
+Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen
+nicht mehr nur aus Eigenvektoren.
+ 
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index 99a043d..887e085 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -9,10 +9,6 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler}
 
-%   -> Repetition: Was ist Sturm-Liouville-Problem
-%   -> Eigenschaften der Lösungen
-%   -> Beispiele erwähnen
-
 In diesem Kapitel wird zunächst nochmals ein Überblick über das
 Sturm-Liouville-Problem und dessen Randbedingungen gegeben.
 Dann wird ein Zusammenhang zwischen reellen symmetrischen Matrizen und
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index b247441..5fb3a0c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -8,6 +8,14 @@
 \subsection{Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
+In diesem Unterkapitel wird anhand der
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
+Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
+überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden.
+Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
+kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
+
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
 Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
@@ -35,8 +43,8 @@ Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
 erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-		k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
-		k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+		k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\
+		k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0.
 	\end{aligned} 
 \end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
@@ -46,17 +54,16 @@ Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-		k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
-		k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0.
+		k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+		k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0.
 	\end{aligned}
 \end{equation}
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können,
 damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$,
-die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -74,19 +81,27 @@ Die Funktion
 	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \end{equation*}
 ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
-
+Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
+die Bedingungen erfüllen.
+Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
 
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung 
+	In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion
+	illustriert.
+	Dazu verwendet man das Skalarprodukt
 	\[
-		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
 	\]
-	
-	mit
-	$y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
-	ergibt
+	mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$.
+	Eigesetzt ergibt dies
 	\[
-	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
+	\begin{aligned}
+	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
+	\lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\
+	&= 0.
+	\end{aligned}
 	\]
+	Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind.
+	Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden.
 \end{beispiel}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 2104645..0ef1072 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -9,11 +9,12 @@
 \rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
-betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
-physikalischen Phänomenes auftritt.
+betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung
+dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe
+als Lösung des Problems zustande kommt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
-Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet dessen initiale Wärmeverteilung durch
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet, dessen initiale Wärmeverteilung durch
 $u(t=0, x)$ gegeben ist.
 Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
@@ -58,7 +59,7 @@ als Randbedingungen.
 
 Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für
 $x = 0$ und $x = l$ auftreten.
-Die einzige Einschränkung liefert die Anfangsbedingung $u(0, x)$.
+Die einzige Einschränkung liefert die initiale Wärmeverteilung $u(0, x)$.
 Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
 an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
 
@@ -144,6 +145,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden.
 Es gilt also beispielsweise wegen
 \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
 dass $X(0) = X(l) = 0$.
+
 Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
@@ -162,7 +164,7 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
 \end{equation}
 gelten.
 
-Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
+Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
 Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt.
 Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
 mit der
@@ -186,8 +188,8 @@ reguläres Sturm-Liouville-Problem.
 
 Es werden nun $p(x)$ und die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
-in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt und man
-erhält
+des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
+eigesetzt und man erhält
 \[
 \begin{aligned}
 	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
@@ -203,7 +205,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
 Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
 konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
 Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem
-handelt und weiter, dass alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
+handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
 Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
 isolierten
 Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
@@ -285,14 +287,15 @@ Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends
 und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
 benötigt.
 
-Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
-allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
+allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
 trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
 Es werden nun die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
 für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+
 Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
 Dies fürht zu
 \[
@@ -315,7 +318,6 @@ sich
     B \sin(\beta l)
     = 0.
 \]
-
 $\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt.
 Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
 \[
@@ -335,11 +337,11 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
 Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
 Verletzung der Randbedingungen.
 
-Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
+Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
-Setzt man nun die 
+Setzt man die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
-in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$, ergibt sich
+in $X^{\prime}$ ein, beginnend mit $x = 0$, ergibt sich
 \[
     X^{\prime}(0)
     =
@@ -358,7 +360,7 @@ folgt nun
     = 0.
 \]
 
-Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der
+Wiederum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der
 Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
 Es folgt nun
 \[
@@ -385,7 +387,7 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden
 \subsubsection{Fourierreihe als Lösung}
 
 Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun
-wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potentiell
+wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell
 unendlich viele Lösungen gibt.
 Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen
 Koeffizienten für jede Lösungsfunktion.
@@ -399,15 +401,15 @@ Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination
 \]
 aus allen möglichen Lösungen um.
 
-Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen,
-da
+Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen.
+Da
 \[
     \begin{aligned}
         a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\
         b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0
     \end{aligned}
 \]
-gilt endet man somit bei
+gilt, endet man somit bei
 \[
     X(x)
     =
@@ -483,13 +485,13 @@ gebildet:
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
 sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
 In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze
-Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$.
+Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und ungerade $m$.
 Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
 Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden.
 Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
 neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und
 $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$
-gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
+gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen:
 \[
 \begin{aligned}
     \hat{u}_c(0, x)
@@ -511,21 +513,22 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
 \]
 
 Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale
-um den Faktor zwei skalliert wurde, also gilt
+um den Faktor zwei skalliert wurde.
+Es gilt also
 \[
-\begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
-    &=
+    =
     2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
-    \\
+\]
+und
+\[
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
-    &=
+    =
     2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx.
-\end{aligned}
 \]
 
-Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
-berechnet:
+Als nächstes wird nun das
+Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} berechnet:
 \[
 \begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -574,13 +577,15 @@ orthogonal zueinander stehen und
 \]
 da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind.
 
-Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
+Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
 \[
     2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
     =
     a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx
 \]
-vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
+vereinfacht.
+
+Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
 berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst
 mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
 \[