aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorrunterer <r.unterer@gmx.ch>2022-05-26 20:38:30 +0200
committerrunterer <r.unterer@gmx.ch>2022-05-26 20:38:30 +0200
commit14b48dfeb636fe25b0745a2ab617cc5d307c06e6 (patch)
tree623fee528b1452891ad150444a02c741aa0a4b26 /buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
parentMerge branch 'AndreasFMueller:master' into master (diff)
downloadSeminarSpezielleFunktionen-14b48dfeb636fe25b0745a2ab617cc5d307c06e6.tar.gz
SeminarSpezielleFunktionen-14b48dfeb636fe25b0745a2ab617cc5d307c06e6.zip
tikz und eulerprodukt hinzugefügt
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex7
1 files changed, 3 insertions, 4 deletions
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index 49fea74..db41676 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -2,9 +2,8 @@
\rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
-Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ ist nicht nur interessant, er wird später auch für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
-%TODO ref Gamma
Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
\begin{equation*}
\Gamma(s)
@@ -51,12 +50,12 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal
&=
\frac{1}{e^u - 1}.
\end{align}
-Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir %TODO formulieren als Satz
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir den gewünschten Zusammenhang
\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
\zeta(s)
=
\frac{1}{\Gamma(s)}
\int_0^{\infty}
\frac{u^{s-1}}{e^u -1}
- du.
+ du \qed
\end{equation}