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diff --git a/buch/papers/kra/Makefile.inc b/buch/papers/kra/Makefile.inc
index f453e6e..a521e4b 100644
--- a/buch/papers/kra/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/kra/Makefile.inc
@@ -4,11 +4,10 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 dependencies-kra =						\
-	papers/kra/packages.tex					\
+	papers/kra/packages.tex				\
 	papers/kra/main.tex					\
-	papers/kra/references.bib				\
-	papers/kra/teil0.tex					\
-	papers/kra/teil1.tex					\
-	papers/kra/teil2.tex					\
-	papers/kra/teil3.tex
+	papers/kra/references.bib			\
+	papers/kra/einleitung.tex			\
+	papers/kra/loesung.tex				\
+	papers/kra/anwendung.tex			\
 
diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
index 14a5e8c..4d4d351 100644
--- a/buch/papers/kra/hamilton.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -1,19 +1,47 @@
+\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}}
+\rhead{Anwendungen}
 \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
 
-\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}}
-\rhead{Teil abc}
+Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter.
+Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können.
+
+\subsection{Feder-Masse-System}
+Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
+Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$.
+Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
+Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass
+
+\begin{equation*}
+    k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}
+\end{equation*}
+Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung
+\begin{equation}
+    x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
+\end{equation}
+
+
+\begin{figure}
+    \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
+    \caption{Einfaches Feder-Masse-System.}
+    \label{kra:fig:simple_mass_spring}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+    \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
+    \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
+    \label{kra:fig:multi_mass_spring}
+\end{figure}
+
 
 \subsection{Hamilton-Funktion}
 Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
 Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
-$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$,
-wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
+$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
 Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
-Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass},
-setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
+Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
 
 \begin{equation}
-    \label{hamilton}
+    \label{kra:harmonischer_oszillator}
     \begin{split}
         \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
         &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
@@ -54,7 +82,7 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also
     \end{pmatrix}
 \]
 
-Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen.
+Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
 Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
 Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
 
@@ -129,6 +157,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
         Q \\
         P \\
     \end{pmatrix}
+    =
     \underbrace{
         \begin{pmatrix}
             0 & M \\
@@ -141,7 +170,25 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
     \end{pmatrix}
 \end{equation}
 
-
+\subsection{Phasenraum}
+Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt.
+Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
+
+\subsubsection{Harmonischer Oszillator}
+Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
+\begin{equation*}
+    q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi)
+\end{equation*}
+die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
+Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
+
+\begin{figure}
+    \input{papers/kra/images/phase_space.tex}
+    \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
+    \label{kra:fig:phasenraum}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
 Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
 wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
 
@@ -181,5 +228,8 @@ Mit einsetzten folgt
     \end{split}
 \end{equation}
 
-was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt.
+was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt.
+
 
+\subsection{Fazit}
+% @TODO
diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..1a347a8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,14 @@
+\section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung}
+\rhead{Einleitung}
+Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichunge erster Ordnung der form
+\begin{equation}
+    \label{kra:riccati}
+    y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
+\end{equation}
+Sie ist bennant nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.
+Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichugen der Form
+\begin{equation}
+    \label{kra:matrixriccati}
+    \dot{U}(t) = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) % +Q ?
+\end{equation}
+bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse ähnlichkeit aufweisen.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
new file mode 100644
index 0000000..ece0f15
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
+\rhead{Lösungsmethoden}
+% @TODO Lösung normal riccati
+Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}.
+
+
+% Lösung matrix riccati
+Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+\begin{equation}
+    \label{kra:matrixriccati-solution}
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \Phi(t_0, t)
+    \begin{pmatrix}
+        I(t) \\
+        U_0(t)
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
+        \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+        I(t) \\
+        U_0(t)
+    \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+    U(t) =
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    ^{-1}
+\end{equation}
+
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
+
+\begin{equation}
+    \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
+\end{equation}
diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex
index 456b6ee..a84ebaf 100644
--- a/buch/papers/kra/main.tex
+++ b/buch/papers/kra/main.tex
@@ -3,12 +3,12 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}}
-\lhead{Kalman, Riccati und Abel}
+\chapter{Riccati Differentialgleichung\label{chapter:kra}}
+\lhead{Riccati Differentialgleichung}
 \begin{refsection}
       \chapterauthor{Samuel Niederer}
-      \input{papers/kra/hamilton.tex}
-      \newpage
-      \input{papers/kra/riccati.tex}
+      \input{papers/kra/einleitung.tex}
+      \input{papers/kra/loesung.tex}
+      \input{papers/kra/anwendung.tex}
       \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex
deleted file mode 100644
index df2921d..0000000
--- a/buch/papers/kra/riccati.tex
+++ /dev/null
@@ -1,93 +0,0 @@
-\section{Riccati
-  \label{kra:section:riccati}}
-\rhead{Riccati}
-
-\begin{equation}
-    y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
-\end{equation}
-% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung)
-% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?)
-% matrix riccati gleichung
-
-
-Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form
-\begin{equation}
-    \label{kra:riccati:riccatiequation}
-    \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t)
-\end{equation}
-
-Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation}
-
-\begin{equation}
-    \label{kra:riccati:derivation}
-    \dt
-    \begin{pmatrix}
-        X \\
-        Y
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \underbrace{
-        \begin{pmatrix}
-            A & B \\
-            C & D
-        \end{pmatrix}
-    }_{H}
-    \begin{pmatrix}
-        X \\
-        Y
-    \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten
-
-\begin{align*}
-    \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1}                                                                           \\
-          & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1})                                                            \\
-          & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1})            \\
-          & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\
-          & = C  + DU - UA - UBU
-\end{align*}
-
-was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt.
-Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
-\begin{equation}
-    \begin{pmatrix}
-        X(t) \\
-        Y(t)
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \Phi(t_0, t)
-    \begin{pmatrix}
-        I(t) \\
-        U_0(t)
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \begin{pmatrix}
-        \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
-        \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
-    \end{pmatrix}
-    \begin{pmatrix}
-        I(t) \\
-        U_0(t)
-    \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
-    U(t) =
-    \begin{pmatrix}
-        \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
-    \end{pmatrix}
-    \begin{pmatrix}
-        \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
-    \end{pmatrix}
-    ^{-1}
-\end{equation}
-
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
-
-\begin{equation}
-    \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
-\end{equation}
-
-
-