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\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
\rhead{Lösungsmethoden}
% @TODO Lösung normal riccati
Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}.
% Lösung matrix riccati
Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
\begin{equation}
\label{kra:matrixriccati-solution}
\begin{pmatrix}
X(t) \\
Y(t)
\end{pmatrix}
=
\Phi(t_0, t)
\begin{pmatrix}
I(t) \\
U_0(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
\Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I(t) \\
U_0(t)
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
U(t) =
\begin{pmatrix}
\Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
\end{pmatrix}
^{-1}
\end{equation}
wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
\begin{equation}
\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
\end{equation}
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