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authorErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-25 21:38:04 +0200
committerErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-25 21:38:04 +0200
commita1a9823fa9396d39d77b11d0c77b62df09a3bac8 (patch)
tree9da8cab25031b1ab0fc7c85553b78751dbaf3bfe /buch/papers
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Some corrections in intro and chebyshev example.
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex26
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex13
2 files changed, 15 insertions, 24 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index b2d01f0..2299c3c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -5,16 +5,6 @@
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-% TODO:
-% order:
-% 1. State goal of showing examples in intro
-% 2. Show Sturm-Liouville form
-% 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples
-% (make singular property brief)
-%
-% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions
-% Check for readability
-
\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
@@ -22,10 +12,9 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
französischen Mathematiker Joseph Liouville.
Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
entwickelt.
-Dieses gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder
-partielle Differentialgleichung.
-Wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in
+Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
+Handelt es sich um eine partielle
+Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in
mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln.
\begin{definition}
@@ -42,8 +31,9 @@ als
=
0
\end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
-bezeichnet.
+geschrieben werden kann, dann wird die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als
+Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
\end{definition}
Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
@@ -102,8 +92,8 @@ Bedingungen beachtet werden.
$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
\end{itemize}
\end{definition}
-Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
-Sturm-Liouville-Problem.
+Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um
+ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
\begin{beispiel}
Das Randwertproblem
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 5ede99d..5fb3a0c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -9,9 +9,10 @@
\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
In diesem Unterkapitel wird anhand der
-Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
-überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können.
+überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden.
Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
@@ -43,7 +44,7 @@ erhält man
\begin{equation}
\begin{aligned}
k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\
- k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0.
+ k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0.
\end{aligned}
\end{equation}
Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
@@ -62,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
Für das reguläre Problem muss laut der
Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -92,8 +93,8 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
\[
\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
\]
- Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
- ergibt
+ mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$.
+ Eigesetzt ergibt dies
\[
\begin{aligned}
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=