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% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
% Author: Réda Haddouche
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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% TODO:
% order:
% 1. State goal of showing examples in intro
% 2. Show Sturm-Liouville form
% 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples
% (make singular property brief)
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% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions
% Check for readability
\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
französischen Mathematiker Joseph Liouville.
Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
entwickelt.
Dieses gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder
partielle Differentialgleichung.
Wenn es sich um eine partielle
Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in
mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln.
\begin{definition}
\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
\[
\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
\]
als
\begin{equation}
\label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
\lambda w(x)) y
=
0
\end{equation}
geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
bezeichnet.
\end{definition}
Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
umgewandelt werden.
Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
\subsection{Randbedingungen
\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
Differentialgleichung genau zu bestimmen.
Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
\begin{equation}
\begin{aligned}
\label{sturmliouville:eq:randbedingungen}
k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
\subsection{Koeffizientenfunktionen
\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}}
Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen
bezeichnet.
Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht.
Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
oder Dichtefunktion bezeichnet.
Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben
einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
im nächsten Abschnitt diskutiert.
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%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
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\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem
\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
Bedingungen beachtet werden.
\begin{definition}
\label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}
\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
\begin{itemize}
\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und
reell sein
\item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
sein.
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
\item Es gelten die Randbedingungen
\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei
$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
\end{itemize}
\end{definition}
Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
Sturm-Liouville-Problem.
\begin{beispiel}
Das Randwertproblem
\begin{equation}
\begin{aligned}
x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0 \qquad 0<x<a,\\
y(a) &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformt, dann
erhält man
die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
Schaut man jetzt die Bedingungen in
Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} an und
vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige
Probleme:
\begin{itemize}
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
\item Die Randbedingung bei $x = 0$ und $x = a$ fehlt.
\end{itemize}
\end{beispiel}
Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren.
Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen
nicht mehr nur aus Eigenvektoren.
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