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authorErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-25 12:49:08 +0200
committerErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-25 12:49:08 +0200
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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex59
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex92
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index 2552574..08e25f2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -15,19 +15,20 @@
% Check for readability
\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
-\rhead{Einleitung}
+\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
französischen Mathematiker Joseph Liouville.
Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
-entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
-jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen
+entwickelt.
+Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
+jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen
Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
-Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche
-Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die
-partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
+Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
+Differentialgleichung 2. Ordnung.
+Wenn es sich um eine partielle
+Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche
+Differentialgleichungen umwandeln.
\begin{definition}
\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
@@ -43,7 +44,7 @@ als
=
0
\end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung
+geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
bezeichnet.
\end{definition}
Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
@@ -51,7 +52,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
umgewandelt werden.
Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
\subsection{Randbedingungen
\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
@@ -62,7 +63,7 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
\begin{aligned}
\label{sturmliouville:eq:randbedingungen}
k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
- k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0.
+ k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
@@ -70,21 +71,21 @@ ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
\subsection{Koeffizientenfunktionen
\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}}
-Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
-ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
+Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen
+bezeichnet.
Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
-Sturm-Liouville-Form bringt.
+Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht.
Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
oder Dichtefunktion bezeichnet.
Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
-im nächsten Kapitel diskutiert.
+im nächsten Kapitel diskutiert.
%
%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
%
-\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem
+\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem
\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
Bedingungen beachtet werden.
@@ -94,8 +95,8 @@ Bedingungen beachtet werden.
Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
\begin{itemize}
\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und
- reell sein.
- \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
+ reell sein
+ \item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
sein.
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
\item Es gelten die Randbedingungen
@@ -103,36 +104,32 @@ Bedingungen beachtet werden.
$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
\end{itemize}
\end{definition}
-Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
+Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
Sturm-Liouville-Problem.
\begin{beispiel}
Das Randwertproblem
\begin{equation}
\begin{aligned}
- x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
+ x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0 \qquad 0<x<a,\\
y(a) &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
- Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
+ Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformt, dann
+ erhält man
die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
- Schaut man jetzt die Bedingungen im
- Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und
+ Schaut man jetzt die Bedingungen in
+ Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} an und
vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige
Probleme:
\begin{itemize}
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
- \item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt.
+ \item Die Randbedingung bei $x = 0$ und $x = a$ fehlt.
\end{itemize}
\end{beispiel}
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere
Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung
-eindeutige Ergebnisse hat.
-Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der
-Lösungsfunktion liegen.
-Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es
-immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die
-Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+eindeutig ist.
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 18e6198..8f673a5 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,14 +4,15 @@
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome
\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
+\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
-Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
+Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
\begin{align*}
- w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
- p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
+ w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\
+ p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\
q(x) &= 0.
\end{align*}
Da die Sturm-Liouville-Gleichung
@@ -24,66 +25,65 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung
\end{equation}
nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-
-\subsubsection*{regulär oder singulär?}
-Für das reguläre Problem laut der
-Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
-$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
-$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
-Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
-von Hyperbelfunktionen
-\begin{equation}
- T_n(x)
- =
- \cos n (\arccos x)
-\end{equation}.
-Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\begin{equation}
- T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
- (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
-\end{equation},
-jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
-müssen.
-Die Funktion
-\begin{equation*}
- p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
-\end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
\subsubsection*{Randwertproblem}
Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
-sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
+Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
erhält man
\begin{equation}
-\begin{aligned}
- k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
- k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
-\end{aligned}
+ \begin{aligned}
+ k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
+ k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+ \end{aligned}
\end{equation}
Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die
-Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
Somit erhält man
\begin{equation}
\begin{aligned}
- k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
- k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
+ k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+ k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0.
\end{aligned}
\end{equation}
Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
-damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige
+damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome
-auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
-Lösungen orthogonal sind.
+Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$,
+die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem muss laut der
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
+$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
+$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art
+\begin{equation}
+ T_n(x)
+ =
+ \cos n (\arccos x).
+\end{equation}
+Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
+müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+ p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+
+
\begin{beispiel}
- Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit
- $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+ Die Gleichung
+ \[
+ \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0
+ \]
+
+ mit
+ $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
ergibt
\[
\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.