Created python files for graphics. Created addtional subsection verlockende Intuition

7 files changed, 170 insertions, 4 deletions

diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py
new file mode 100644
index 0000000..d787c34
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py
@@ -0,0 +1,18 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sat Jul 30 23:09:33 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+phi = np.pi/2
+t = np.linspace(0, 10, 10**5)
+x0 = 1
+
+def D(t):
+    return np.sqrt(x0**2+2*x0*t*np.cos(phi)+2*t**2-2*t**2*np.sin(phi))
+
+plt.plot(t, D(t))
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
new file mode 100644
index 0000000..236212a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
index 0de3001..91442cc 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
index b9b41bf..28f7bcd 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
@@ -44,7 +44,7 @@ plt.rcParams.update({
     "font.serif": ["New Century Schoolbook"],
 })
 
-ax.text(1.6, 4.3, r"$\vec{v}$", size=30)
+ax.text(1.6, 4.3, r"$\dot{v}$", size=30)
 ax.text(0.6, 3.9, r"$V$", size=30, c='b')
 ax.text(5.1, 4.77, r"$Z$", size=30, c='b')
 
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py
new file mode 100644
index 0000000..dac99a7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py
@@ -0,0 +1,20 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sun Jul 31 14:34:13 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+t = 0
+phi = np.linspace(np.pi/2, 3*np.pi/2, 10**5)
+x0 = 1
+y0 = -2
+
+def D(t):
+    return (x0+t*np.cos(phi))*np.cos(phi)+(y0+t*(np.sin(phi)-1))*(np.sin(phi)-1)/(np.sqrt((x0+t*np.cos(phi))**2+(y0+t*(np.sin(phi)-1))**2))
+
+
+plt.plot(phi, D(t))
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
new file mode 100644
index 0000000..9031bfc
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
@@ -0,0 +1,58 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sun Jul 31 13:32:53 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+import scipy.special as sci
+
+W = sci.lambertw
+
+
+t = np.linspace(0, 1.2, 1000)
+x0 = 1
+y0 = 1
+
+r0 = np.sqrt(x0**2+y0**2)
+chi = (r0+y0)/(r0-y0)
+
+x = x0*np.sqrt(1/chi*W(chi*np.exp(chi-4*t/(r0-y0))))
+eta = (x/x0)**2
+y = 1/4*((y0+r0)*eta+(y0-r0)*np.log(eta)-r0+3*y0)
+
+ymin= (min(y)).real
+xmin = (x[np.where(y == ymin)][0]).real
+
+
+#Verfolger
+plt.plot(x, y, 'r--')
+plt.plot(xmin, ymin, 'bo', markersize=10)
+
+#Ziel
+plt.plot(np.zeros_like(t), t, 'g--')
+plt.plot(0, ymin, 'bo', markersize=10)
+
+
+plt.plot([0, xmin], [ymin, ymin], 'k--')
+#plt.xlim(-0.1, 1)
+#plt.ylim(1, 2)
+#plt.ylabel("y")
+#plt.xlabel("x")
+plt.grid(True)
+plt.quiver(xmin, ymin, -0.2, 0, scale=1)
+
+plt.text(xmin+0.1, ymin-0.1, "Verfolgungskurve", size=20, rotation=20, color='r')
+plt.text(0.01, 0.02, "Fluchtkurve", size=20, rotation=90, color='g')
+
+plt.rcParams.update({
+    "text.usetex": True,
+    "font.family": "serif",
+    "font.serif": ["New Century Schoolbook"],
+})
+
+plt.text(xmin-0.11, ymin-0.12, r"$\dot{v}$", size=30)
+plt.text(xmin-0.02, ymin+0.05, r"$V$", size=30, c='b')
+plt.text(0.02, ymin+0.05, r"$Z$", size=30, c='b')
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index 2733759..2da07db 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -205,8 +205,78 @@ Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
 %
 die neue Bedingung ist.
 Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
-
-
-
+%
+\subsection{verleitende/trügerisch/verführerisch Intuition}
+In der Grafik \ref{lambertw:grafic:intuition} ist eine Mögliche Verfolgungskurve dargestellt, wobei für die Startbedingung der erste-Quadrant verwendet wurde.
+Als erste Intuition bietet sich der tiefste Punkt der Verfolgungskurve an, bei dem der y-Anteil des Richtungsvektors null entspricht.
+Wenn sich der Verfolger an diesem Punkt befindet, muss zwingend das Ziel auf gleicher Höhe sein.
+Es lässt sich vermuten, dass bei diesem Punkt der Abstand zum Ziel minimal sein könnte.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[scale=0.4]{./papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf}
+	\caption{Intuition}
+	\label{lambertw:grafic:intuition}
+\end{figure}
+%
+Dies kann leicht überprüft werden, indem wir lokal alle relevanten benachbarten Punkte betrachten und das Vorzeichen der Änderung des Abstandes prüfen.
+Dafür wird ein Ausdruck benötigt, der den Abstand und die benachbarten Punkte beschreibt.
+Der Richtungsvektor wird allgemein mit dem Winkel $\alpha \in[ 0, 2\pi)$
+Die Ortsvektoren der Punkte können wiederum mit
+\begin{align}
+	v
+	&=
+	t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right)
+	\\
+	z
+	&=
+	\left(\begin{array}{c} 0 \\ t \end{array}\right)
+\end{align}
+beschrieben werden. Der Verfolger wurde allgemein für jede Richtung $\alpha$ definiert, um alle unmittelbar benachbarten Punkte beschreiben zu können.
+Da der Abstand
+\begin{equation}
+	a
+	=
+	|v-z|
+	\geq
+	0
+\end{equation}
+ist, kann durch quadrieren ohne Informationsverlust die Rechnung vereinfacht werden zu
+\begin{equation}
+	a^2
+	=
+	|v-z|^2
+	=
+	(t\cdot\cos(\alpha)+x_0)^2+t^2(\sin(\alpha)-1)^2
+	\text{.}
+\end{equation}
+Der Abstand im Quadrat abgeleitet nach der Zeit ist
+\begin{equation}
+	\frac{d a^2}{d t}
+	=
+	2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2
+	\text{.}
+\end{equation}
+Da nur die unmittelbar benachbarten Punkten von Interesse sind, wird die Ableitung für $t=0$ untersucht. Dabei kann die Ableitung in 
+\begin{align}
+	\frac{d a^2}{d t}
+	&=
+	2x_0\cos(\alpha)
+	\\
+	\frac{d a^2}{d t}
+	&<
+	0\Leftrightarrow\alpha\in\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)
+	\\
+	\frac{d a^2}{d t}
+	&>
+	0\Leftrightarrow\alpha\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)
+	\\
+	\frac{d a^2}{d t}
+	&=
+	0\Leftrightarrow\alpha\in\left\{ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\}
+\end{align}
+unterteilt werden.
+Von Interesse ist lediglich das Intervall $\alpha\in\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, da der Verfolger sich stets in die negative $y$-Richtung bewegt.
+In diesem Intervall ist die Ableitung negativ, woraus folgt, dass jeglicher unmittelbar benachbarte Punkt, den der Verfolger als nächstes begehen könnte, stets näher am Ziel ist als zuvor.
+Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Verfolgungskurve nie ein lokales Minimum bezüglich des Abstandes sein kann.