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authorAlain <mceagle117@gmail.com>2022-08-17 23:41:00 +0200
committerAlain <mceagle117@gmail.com>2022-08-17 23:41:00 +0200
commita8b82aafff82dbff739714d7009419a0015eebcf (patch)
treeb3518149eb3661d12d8cccee6806cb1dd9ac5def /buch/papers
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nöd ganz
Diffstat (limited to 'buch/papers')
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/D_plot.pngbin712446 -> 704810 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex16
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex39
3 files changed, 32 insertions, 23 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
index f76e35b..94b483b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
+++ b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index a4253b8..c5ece66 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -112,7 +112,7 @@ Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
D_n(z) = \frac{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
}{
- \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
}
M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+
@@ -127,11 +127,14 @@ In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$
\begin{align}
U(a,z) &=
\cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
- - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+ \label{parzyl:eq:Uaz}
+ \\
V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
\sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
\right\}
+ \label{parzyl:eq:Vaz}
\end{align}
mit
\begin{align}
@@ -143,9 +146,8 @@ mit
{}_{1} F_{1}
\left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}},
{\textstyle \frac{1}{2}} ;
- {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
- \\
- Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)\\
+ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
{2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}}
@@ -167,11 +169,11 @@ ausgedrückt werden
\left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
\end{align}
In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind
-die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
+die Funktionen $D_n(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
- \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+ \caption{$D_n(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
\label{parzyl:fig:dnz}
\end{figure}
\begin{figure}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 972fd33..78950e1 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -9,41 +9,45 @@
\subsection{Potenzreihenentwicklung
\label{parzyl:potenz}}
-Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
+Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, z)$
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, z)$, welche als Potenzreihe
\begin{align}
- w_1(k,z)
+ w_1(\alpha,z)
&=
e^{-z^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
(
- {\textstyle \frac{1}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+ \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
=
e^{-\frac{z^2}{4}}
\sum^{\infty}_{n=0}
- \frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
&=
e^{-\frac{z^2}{4}}
\left (
1
+
- \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!}
+ \left ( 2\alpha \right )\frac{z^2}{2!}
+
- \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!}
+ \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{z^4}{4!}
+
\dots
\right )
\end{align}
und
\begin{align}
- w_2(k,z)
+ w_2(\alpha,z)
&=
ze^{-z^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
(
- {\textstyle \frac{3}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+ {\textstyle \frac{1}{2}}
+ + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
=
ze^{-\frac{z^2}{4}}
\sum^{\infty}_{n=0}
@@ -54,20 +58,23 @@ und
\left (
z
+
- \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!}
+ \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{z^3}{3!}
+
- \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!}
+ \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{z^5}{5!}
+
\dots
\right ).
\end{align}
-Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls
+sind.
+Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht.
+Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden
+und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(\alpha,z)$ falls
\begin{equation}
- k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+ \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{equation}
-und bei $w_2(k,z)$ falls
+und bei $w_2(\alpha,z)$ falls
\begin{equation}
- k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+ \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
\subsection{Ableitung}