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Sturmliouville/erik branch

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index a136337..f08278d 100644
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+++ b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore
@@ -1 +1 @@
-*.pdf
+*.pdf
\ No newline at end of file
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index d5ec3f9..94082cf 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
@@ -4,6 +4,11 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Beispiele 
-\label{sturmliouville:section:teil2}}
+\label{sturmliouville:section:examples}}
 \rhead{Beispiele}
 
+% Fourier: Erik work
+\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
+
+% Tschebyscheff
+\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 6d37612..9f20070 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -4,7 +4,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:teil1}}
+\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
-
+% Erik work
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 384a642..44c3192 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -3,7 +3,127 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Was ist Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
+\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
 \rhead{Einleitung}
+Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville.
+Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
+Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
+
+\begin{definition}
+	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}
+Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung
+\begin{equation}
+	\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
+\end{equation}
+und schreibt die Gleichung um in:
+\begin{equation}
+	\label{eq:sturm-liouville-equation}
+	\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 
+\end{equation}
+, diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet.
+\end{definition}
+
+Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden.
+Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs}
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+	\label{eq:randbedingungen}
+	k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
+	k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
+\end{aligned}
+\end{equation}
+kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
+Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
+\begin{equation}
+	y(a) = y(b) = 0
+\end{equation}
+, so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn
+\begin{equation}
+	y'(a) = y'(b) = 0
+\end{equation}
+ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden.
+Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen.
+Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles  konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
+der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
+Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren.
+Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
+Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
+\begin{equation}
+	\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y
+\end{equation}.
+
+Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y -
+dies gilt für das Intervall (a,b).
+Somit ergibt die Gleichung
+\begin{equation}
+	\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0
+\end{equation}.
+
+Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
+Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
+Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. 
+Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sind nicht dieselben.
+
+%
+%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
+%
+
+\subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
+Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden.
+\begin{definition}
+	\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
+	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
+	\begin{itemize}
+		\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein.
+		\item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein.
+		\item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$.
+		\item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können.
+
+
+%
+%Kapitel mit "Das singuläre Sturm-Liouville-Problem"
+%
+
+
+\subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}}
+Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind.
+\begin{definition}
+	\index{singuläres Sturm-Liouville-Problem}
+Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn:
+	\begin{itemize}
+		\item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder
+		\item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben.
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+
+\begin{beispiel}
+	Das Randwertproblem
+	\begin{equation}
+		\begin{aligned}
+		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
+		y(a) &= 0
+		\end{aligned}
+	\end{equation}
+	ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
+	Weil wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
+	Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+	\begin{itemize}
+		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
+		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
+		\item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt.
+	\end{itemize}
+\end{beispiel}
+
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung fundierte Ergebnisse hat.
+Es ist schwierig, bestehende Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z.B. in der Lösungsfunktion liegen.
+Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerte, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten.
+Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin eine verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+
+ 
+
 
 
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index dfd2c38..4b5b8af 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -1,18 +1,17 @@
+% !TeX root = ../../buch.tex
 %
 % main.tex -- Paper zum Thema <sturmliouville>
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
 \chapter{Sturm-Liouville-Problem\label{chapter:sturmliouville}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Sturm-Liouville-Problem}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler}
 
-
-
 \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
 %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem"
-ng\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
 %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems
 \input{papers/sturmliouville/beispiele.tex}
 %Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex b/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex
deleted file mode 100644
index cd0e8dc..0000000
--- a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex
+++ /dev/null
@@ -1,31 +0,0 @@
-\documentclass{book}
-
-\def\IncludeBookCover{0}
-\input{common/packages.tex}
-
-% additional packages used by the individual papers, add a line for
-% each paper
-\input{papers/common/addpackages.tex}
-
-% workaround for biblatex bug
-\makeatletter
-\def\blx@maxline{77}
-\makeatother
-\addbibresource{chapters/references.bib}
-
-% Bibresources for each article
-\input{papers/common/addbibresources.tex}
-
-% make sure the last index starts on an odd page
-\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi}
-\makeindex
-
-%\pgfplotsset{compat=1.12}
-\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning
-\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
-
-\begin{document}
-	\input{common/macros.tex}
-	\def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip}
-	\input{papers/sturmliouville/main.tex}
-\end{document}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..54f13d4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -0,0 +1,7 @@
+%
+% tschebyscheff_beispiel.tex
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\subsection{Tschebyscheff}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..14c0d9a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -0,0 +1,668 @@
+%
+% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. 
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
+
+In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
+betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
+physikalischen Phänomenes auftritt.
+
+Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
+Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
+die partielle Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation}
+    \frac{\partial u}{\partial t} =
+    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
+\end{equation}
+wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
+
+Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
+Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
+die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter 
+Tempreatur gehalten werden.
+
+%
+% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
+%
+\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+
+Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
+Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
+Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen.
+Es folgen nun
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+    u(t,0)
+    =
+    u(t,l)
+    =
+    0
+\end{equation}
+als Randbedingungen.
+
+%
+% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden
+%
+
+\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
+
+Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und
+$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
+an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
+
+Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
+Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
+werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
+dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
+verschwinden.
+Somit folgen
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+    \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
+    =
+    \frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
+    =
+    0
+\end{equation}
+als Randbedingungen.
+
+%
+% Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
+%
+
+\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+
+Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
+die Separationsmethode verwendet.
+Dazu wird 
+\[
+    u(t,x)
+    =
+    T(t)X(x)
+\]
+in die partielle Differenzialgleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-heat-equation} eingesetzt.
+Daraus ergibt sich 
+\[
+    T^{\prime}(t)X(x)
+    =
+    \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
+\]
+als neue Form.
+
+Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
+von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
+der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
+\[
+    \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)}
+    =
+    \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
+    =
+    \mu
+\]
+Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
+Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-separated-x}
+    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
+    =
+    0
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-separated-t}
+    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
+    =
+    0
+\end{equation}
+
+%
+% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen
+%
+
+Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
+Sturm-Liouville-Form ist.
+Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
+Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
+Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
+
+Da die Bedingungen des Stab-Problem nur Anforderungen an $x$ stellen, können
+diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$.
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+	\label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen}
+	k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\
+	k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0
+\end{aligned}
+\end{equation}
+erfüllt sein und es muss ausserdem
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+    \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints}
+    |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\
+    |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\
+\end{aligned}
+\end{equation}
+gelten.
+
+Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
+$p(x)$
+benötigt.
+Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
+Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
+$p(x) = 1$ führt.
+
+Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in
+\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man
+\[
+\begin{aligned}
+	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
+	k_b y(l) + h_b y'(l) &= h_b y'(l) = 0.
+\end{aligned}
+\]
+Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein.
+Zusätzlich müssen aber die Bedingungen 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und
+da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$
+gewählt werden.
+
+Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
+konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
+alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
+Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
+isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
+somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
+
+%
+%   Lösung von X(x), Teil mu
+%
+
+\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x}
+Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
+Aufgrund der Struktur der Gleichung
+\[
+    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
+    =
+    0
+\]
+wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt.
+Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
+\[
+    X(x)
+    =
+    A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right).
+\]
+
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden
+sind.
+Man erhält also
+\[
+    X^{\prime}(x)
+    =
+    - \alpha A \sin \left( \alpha x \right) +
+    \beta B \cos \left( \beta x \right)
+\]
+und
+\[
+    X^{\prime \prime}(x)
+    =
+    -\alpha^{2} A \cos \left( \alpha x \right) -
+    \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right).
+\]
+
+Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
+\[
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) -
+    \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right)
+    =
+    0
+\]
+und durch umformen somit
+\[
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x)
+    =
+    \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x).
+\]
+
+Mittels Koeffizientenvergleich von
+\[
+\begin{aligned}
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x)
+    &=
+    \mu A\cos(\alpha x)
+    \\
+    -\beta^{2}B\sin(\beta x)
+    &=
+    \mu B\sin(\beta x)
+\end{aligned}
+\]
+ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
+$ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $.
+Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
+bestimmen.
+Dazu werden nochmals die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt.
+
+Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
+allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
+
+Es werden nun die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab
+mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
+Dies fürht zu
+\[
+    X(0)
+    =
+    A \cos(0 \alpha) + B \sin(0 \beta)
+    =
+    0.
+\]
+Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $A = 0$ gelten.
+Für den zweiten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
+
+Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $A = 0$ eingesetzt, ergibt
+sich
+\[
+    X(l)
+    =
+    0 \cos(\alpha l) + B \sin(\beta l)
+    =
+    B \sin(\beta l)
+    = 0.
+\]
+
+$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt.
+Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
+\[
+\begin{aligned}
+    \sin(\beta l) &= 0 \\
+    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+\end{aligned}
+\]
+
+Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass
+\[
+    \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+\]
+sein muss.
+Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
+Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
+Verletzung der Randbedingungen.
+
+Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
+werden.
+Setzt man nun die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
+ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+\[
+    X^{\prime}(0)
+    =
+    -\alpha A \sin(0 \alpha) + \beta B \cos(0 \beta)
+    = 0.
+\]
+In diesem Fall muss $B = 0$ gelten.
+Zusammen mit der Bedignung für $x = l$
+folgt nun
+\[
+    X^{\prime}(l)
+    =
+    - \alpha A \sin(\alpha l) + 0 \beta \cos(\beta l)
+    =
+    - \alpha A \sin(\alpha l)
+    = 0.
+\]
+
+Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der
+Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
+Es folgt nun
+\[
+\begin{aligned}
+    \sin(\alpha l) &= 0 \\
+    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+\end{aligned}
+\]
+und somit
+\[
+    \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+\]
+
+Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
+wie auch mit isolierten Enden
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+    \mu
+    =
+    -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+\end{equation}
+
+%
+% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
+%
+
+Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt.
+Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
+$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt.
+Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$
+unterschiedlich sein.
+Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
+\[
+    X(x)
+    =
+    a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
+\]
+
+Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere
+Bedingungen benötigt.
+Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$.
+Es gilt also nun die Gleichung
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-initial-conditions}
+    u(0, x)
+    =
+    a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+\end{equation}
+nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen.
+Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion
+gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen
+trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt
+verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen.
+Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in
+\eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
+Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
+Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
+
+Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
+Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
+gebildet:
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-dot-product-cosine}
+    \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
+    =
+    \langle a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
+\end{equation}
+
+Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
+sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
+In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze
+Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $.
+Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
+Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden.
+Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
+neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und
+$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $
+gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
+\[
+\begin{aligned}
+    \hat{u}_c(0, x)
+    &=
+    \begin{cases}
+        u(0, -x) & -l \leq x < 0
+        \\
+        u(0, x) & 0 \leq x \leq l
+    \end{cases}
+    \\
+    \hat{u}_s(0, x)
+    &=
+    \begin{cases}
+        -u(0, -x) & -l \leq x < 0
+        \\
+        u(0, x) & 0 \leq x \leq l
+    \end{cases}.
+\end{aligned}
+\]
+
+Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei
+skalliert wurde, also gilt nun
+\[
+\begin{aligned}
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &=
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \\
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &=
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx.
+\end{aligned}
+\]
+
+Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
+\[
+\begin{aligned}
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =&
+    \int_{-l}^{l} \left[a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    \\
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =&
+    a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+    \\
+    &+
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right].
+\end{aligned}
+\]
+
+Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass
+nahezu alle Terme verschwinden, denn
+\[
+    \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    =
+    0
+\]
+da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird,
+\[
+    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =
+    0
+\]
+für $m\neq n$, da Cosinus-Funktionen mit verschiedenen Kreisfrequenzen
+orthogonal zueinander stehen und
+\[
+    \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =
+    0
+\]
+da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind.
+
+Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
+\[
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =
+    a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx
+\]
+vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
+berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst
+mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
+\[
+    \begin{aligned}
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &=
+    a_m\frac{l}{m\pi}\int_{-m\pi}^{m\pi}\cos^2\left(u\right)du
+    \\
+    &=
+    a_m\frac{l}{m\pi}\left[\frac{u}{2} + 
+    \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi}
+    \\
+    &=
+    a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + 
+    \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - 
+    \frac{-m\pi}{2} -
+    \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right)
+    \\
+    &=
+    a_m l
+    \\
+    a_m
+    &=
+    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \end{aligned}
+\]
+
+Analog dazu kann durch das Bilden des Skalarproduktes mit 
+$ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass
+\[
+    b_m
+    =
+    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+\]
+gilt.
+
+Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
+Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
+zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der
+konstanten Funktion $1$.
+Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
+der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das
+Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet:
+\[
+\begin{aligned}
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx
+    &=
+    \int_{-l}^{l} a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)dx
+    \\
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+    &=
+    a_0 \int_{-l}^{l}dx
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        dx\right] +
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        dx\right].
+\end{aligned}
+\]
+
+Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils
+über ein Vielfaches der Periode integriert wird.
+Es bleibt also noch
+\[
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+    =
+    a_0 \int_{-l}^{l}dx
+\]
+, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
+\[
+\begin{aligned}
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+    &=
+    a_0 \int_{-l}^{l}dx
+    \\
+    &=
+    a_0 \left[x\right]_{x=-l}^{l}
+    \\
+    &=
+    a_0(l - (-l))
+    \\
+    &=
+    a_0 \cdot 2l
+    \\
+    a_0
+    &=
+    \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx
+\end{aligned}
+\]
+
+%
+% Lösung von T(t)
+%
+
+\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
+Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
+Diese wird über das charakteristische Polynom
+\[
+    \lambda - \kappa \mu
+    =
+    0
+\]
+gelöst.
+
+Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
+Lösung
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{-\kappa \mu t}
+\]
+führt.
+Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+\]
+ergibt.
+
+Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt
+werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
+
+\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+\[
+\begin{aligned}
+    u(t,x)
+    &=
+    \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+    \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \\
+    b_{n}
+    &=
+    \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
+\end{aligned}
+\]
+
+\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
+\[
+\begin{aligned}
+    u(t,x)
+    &=
+    a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+    \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \\
+    a_{0}
+    &=
+    \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx
+    \\
+    a_{n}
+    &=
+    \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
+\end{aligned}
+\]