aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers
diff options
context:
space:
mode:
authorAlain <mceagle117@gmail.com>2022-08-08 17:36:16 +0200
committerAlain <mceagle117@gmail.com>2022-08-08 17:36:16 +0200
commitf4aa64f6ea1810774621af11329c369924351f40 (patch)
treec7d8c0c91d70ebf1ae8e064502dbffeac2fe14e3 /buch/papers
parentverbesserungen (diff)
downloadSeminarSpezielleFunktionen-f4aa64f6ea1810774621af11329c369924351f40.tar.gz
SeminarSpezielleFunktionen-f4aa64f6ea1810774621af11329c369924351f40.zip
Chlini Schritt
Diffstat (limited to 'buch/papers')
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex32
1 files changed, 25 insertions, 7 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 239f8c7..02ce0f2 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,8 +6,8 @@
\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
\rhead{Problemstellung}
-Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution
-in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
+Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit
+Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden.
\begin{definition}
Die Funktion
\begin{equation*}
@@ -19,13 +19,31 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
+ m - k, 1 + 2m; z)
\end{equation*}
heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
- von
+ von der Whittaker Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2W}{d z^2} +
\left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
+ \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
\end{equation}
\end{definition}
-
-Lösung Folgt\dots
-
-
+Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
+\begin{equation}
+ w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+\end{equation}
+als Lösung hat.
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
+\begin{equation}
+ \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
+\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
+\end{equation}
+resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie
+\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+$w$ als Lösung haben.
+Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+eine sondern zwei Lösungen.
+Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+Somit ist
+\begin{equation}
+ w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+\end{equation}
+eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}.