Add some information about Gauss Quadrature and application to Gamma integral

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diff --git a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
index aae51f9..12b0935 100644
--- a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
@@ -9,6 +9,7 @@ dependencies-laguerre =						\
 	papers/laguerre/references.bib				\
 	papers/laguerre/definition.tex					\
 	papers/laguerre/eigenschaften.tex				\
-	papers/laguerre/quadratur.tex					
+	papers/laguerre/quadratur.tex				\
+	papers/laguerre/gamma.tex					
 
 
diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index edd2b7b..d111f6f 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -18,8 +18,9 @@ x \in \mathbb{R}
 .
 \label{laguerre:dgl}
 \end{align}
+Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
-weil die Lösung gleich berechnet werden kann,
+weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
 aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
 Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
 Potenzreihenansatz.
@@ -117,6 +118,8 @@ L_n^\nu(x)
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
 \label{laguerre:allg_polynom}
 \end{align}
+
+\subsection{Analytische Fortsetzung}
 Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
 Differentialgleichung mit der Form
 \begin{align*}
diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index c589c92..b0cc3a3 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -5,9 +5,21 @@
 %
 \section{Eigenschaften
   \label{laguerre:section:eigenschaften}}
+{
+\large \color{red}
+TODO:
+Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
+benötigt wird.
+}
+
+Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
 \rhead{Eigenschaften}
 
-\subsection{Orthogonalität}
+\subsection{Orthogonalität
+  \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
+dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
+Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
 Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein
 Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
 bei
@@ -95,4 +107,13 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
 Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal
-bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion sind.
+bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion 
+$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
+
+
+\subsection{Rodrigues-Formel}
+
+\subsection{Drei-Terme Rekursion}
+
+\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
+
diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..e3838b0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+%
+% gamma.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Anwendung: Berechnung der Gamma-Funktion
+  \label{laguerre:section:quad-gamma}}
+Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
+um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu
+berechnen.
+Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden
+Abschnitten sehen werden.
+
+\subsection{Gamma-Funktion}
+Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
+Zahlenmenge.
+Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als
+Integral der Form
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+ & =
+\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt
+,
+\quad
+\text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$}
+,
+\label{laguerre:gamma}
+\end{align}
+welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur
+berechnet zu werden.
+
+\subsubsection{Funktionalgleichung}
+Die Funktionalgleichung besagt
+\begin{align}
+z \Gamma(z) = \Gamma(z+1).
+\label{laguerre:gamma_funktional}
+\end{align}
+Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten,
+geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
+um das gewünschte Resultat zu erhalten.
+
+\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
+
+Fehlerterm:
+\begin{align*}
+R_n
+=
+(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1}
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
+Nun stellt sich die Frage,
+ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann,
+wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und
+dann zurückverschiebt mit der Funktionalgleichung.
+Dazu wollen wir den Fehlerterm in
+Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren.
+Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren.
+Zudem nehmen wir an, dass die optimale Stelle $x^* \in \mathbb{R}$, $z < x^*$
+ist.
+Dann fügen wir einen Verschiebungsterm um $m$ Stellen ein, daraus folgt
+\begin{align*}
+R_n
+=
+\frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
+.
+\end{align*}
+
+{
+\large \color{red}
+TODO:
+Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich
+bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen.
+}
+
+\subsection{Resultate}
diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex
index 3db67d5..00e3b43 100644
--- a/buch/papers/laguerre/main.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/main.tex
@@ -8,11 +8,12 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Patrik Müller}
 
-Hier kommt eine Einleitung.
+{\large \color{red} TODO: Einleitung}
 
 \input{papers/laguerre/definition}
 \input{papers/laguerre/eigenschaften}
 \input{papers/laguerre/quadratur}
+\input{papers/laguerre/gamma}
 % \input{papers/laguerre/transformation}
 % \input{papers/laguerre/wasserstoff}
 
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 8ab1af5..60fad7f 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -3,27 +3,77 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Gauss-Laguerre Quadratur
-\label{laguerre:section:quadratur}}
+\section{Gauss-Quadratur
+  \label{laguerre:section:quadratur}}
+ {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur}
+\begin{align}
+\int_a^b f(x) w(x)
+\approx
+\sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
+\label{laguerre:gaussquadratur}
+\end{align}
 
+\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur
+\label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}}
+Die Gauss-Quadratur kann auch auf Skalarprodukte mit Gewichtsfunktionen
+ausgeweitet werden.
+In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
+$L_n$ ausweiten.
+Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
+der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
+Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren:
 \begin{align}
-    \int_a^b f(x) w(x)
-    \approx
-    \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
-    \label{laguerre:gaussquadratur}
+\int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
+\approx
+\sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i
+\label{laguerre:laguerrequadratur}
 \end{align}
 
+\subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
+Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
+des verwendeten Polynoms genommen werden.
+Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und
+als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
+Dabei sind
+\begin{align*}
+l_i(x_j)
+=
+\delta_{ij}
+=
+\begin{cases}
+1 & i=j           \\
+0 & \text{sonst.}
+\end{cases}
+\end{align*}
+Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte also
 \begin{align}
-    \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx 
-    \approx
-    \sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i
-    \label{laguerre:laguerrequadratur}
+A_i
+=
+\frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2}
+.
+\label{laguerre:quadratur_gewichte}
 \end{align}
 
+\subsubsection{Fehlerterm}
+Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
+\begin{align*}
+\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx
+=
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n
+\end{align*}
+un \cite{abramowitz+stegun} gibt in als
 \begin{align}
-    A_i 
-    = 
-    \frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2}
-    \label{laguerre:quadratur_gewichte}
+R_n
+=
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\label{lagurre:lag_error}
 \end{align}
+an.
 
+{
+\large \color{red}
+TODO:
+Noch mehr Text / bessere Beschreibungen in allen Abschnitten
+}
diff --git a/buch/papers/laguerre/references.bib b/buch/papers/laguerre/references.bib
index caf270f..6956ade 100644
--- a/buch/papers/laguerre/references.bib
+++ b/buch/papers/laguerre/references.bib
@@ -4,32 +4,19 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{laguerre:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
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-	day = {6}
-}
-
-@book{laguerre:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
-}
-
-@article{laguerre:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
-        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
-        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
-        year = 2019,
-        volume = 47,
-        pages = {607--627},
-        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
-}
-
+@book{abramowitz+stegun,
+  added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+  address = {New York},
+  author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.},
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+  year = 1972
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\ No newline at end of file