1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
|
%
% definition.tex
%
% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
%
\section{Definition
\label{laguerre:section:definition}}
\rhead{Definition}
Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
\begin{align}
x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
=
0
, \quad
n \in \mathbb{N}_0
, \quad
x \in \mathbb{R}
.
\label{laguerre:dgl}
\end{align}
Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
weil die Lösung gleich berechnet werden kann,
aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
Potenzreihenansatz.
Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
Setzt man nun den Ansatz
\begin{align*}
y(x)
& =
\sum_{k=0}^\infty a_k x^k
\\
y'(x)
& =
\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
=
\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
\\
y''(x)
& =
\sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
=
\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
\end{align*}
in die Differentialgleichung ein, erhält man:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
+
(\nu + 1)\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
-
\sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
+
n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
& =
0 \\
\sum_{k=1}^\infty
\left[ (k+1) k a_{k+1} + (\nu + 1)(k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
& =
0.
\end{align*}
Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
\begin{align*}
a_{k+1}
& =
\frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
\end{align*}
ableiten.
Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
$n$,
denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich,
dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
\begin{align*}
a_1
=
-\frac{n}{1 \cdot (\nu + 1)}
, & &
a_2
=
\frac{(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)}
, & &
a_3
=
-\frac{(n-2)(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)(\nu + 3)}
\end{align*}
und allgemein
\begin{align*}
k
& \leq
n:
&
a_k
& =
(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{k!(\nu + 1)_k}
=
\frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k}
\\
k & >n:
&
a_k
& =
0.
\end{align*}
Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
\begin{align}
L_n(x)
=
\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
\label{laguerre:polynom}
\end{align}
und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
\begin{align}
L_n^\nu(x)
=
\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
\label{laguerre:allg_polynom}
\end{align}
Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
Differentialgleichung mit der Form
\begin{align*}
\Xi_n(x)
=
L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
\end{align*}
Nach einigen mühsamen Rechnungen,
die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
erhalten wir
\begin{align*}
\Xi_n
=
L_n(x) \ln(x)
+
\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
(\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
+
(-1)^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(k-1)!n!}{((n+k)!)^2} x^{n+k},
\end{align*}
wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
$\forall k \in \mathbb{N}$.
Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf%
}
\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
\label{laguerre:fig:polyeval}
\end{figure}
% https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
% http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
|
