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authorErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-11 14:34:39 +0200
committerErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-11 14:34:39 +0200
commit330038bafaaf6ed6462a3efdcf9869b6ecf645ce (patch)
treee0e9dfc41bba8b34948e9cdc6cfab61f7e24b070 /buch
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SeminarSpezielleFunktionen-330038bafaaf6ed6462a3efdcf9869b6ecf645ce.zip
Added mu calculation to both fourier examples.
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/standalone.tex31
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex99
2 files changed, 94 insertions, 36 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex b/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex
deleted file mode 100644
index cd0e8dc..0000000
--- a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex
+++ /dev/null
@@ -1,31 +0,0 @@
-\documentclass{book}
-
-\def\IncludeBookCover{0}
-\input{common/packages.tex}
-
-% additional packages used by the individual papers, add a line for
-% each paper
-\input{papers/common/addpackages.tex}
-
-% workaround for biblatex bug
-\makeatletter
-\def\blx@maxline{77}
-\makeatother
-\addbibresource{chapters/references.bib}
-
-% Bibresources for each article
-\input{papers/common/addbibresources.tex}
-
-% make sure the last index starts on an odd page
-\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi}
-\makeindex
-
-%\pgfplotsset{compat=1.12}
-\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning
-\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
-
-\begin{document}
- \input{common/macros.tex}
- \def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip}
- \input{papers/sturmliouville/main.tex}
-\end{document}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 92ecc49..89d158c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -216,7 +216,7 @@ und durch umformen somit
\mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
\]
-Durch Koeffizientenvergleich von
+Mittels Koeffizientenvergleich von
\[
\begin{aligned}
-\alpha^{2}A\sin(\alpha x)
@@ -238,16 +238,105 @@ Dazu werden nochmals die Randbedingungen
Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und
somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können.
-Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
+Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
+allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
+Es werden nun die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab
+mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
+Dies fürht zu
+\[
+ X(0)
+ =
+ A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta)
+ =
+ 0.
+\]
+Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten.
+Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
+
+Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt
+sich
+\[
+ X(l)
+ =
+ A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l)
+ =
+ A \sin(\alpha l)
+ = 0.
+\]
+
+$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt.
+Es gilt nun nach $\alpha$ aufzulösen:
+\[
+\begin{aligned}
+ \sin(\alpha l) &= 0 \\
+ \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+ \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+\end{aligned}
+\]
+
+Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass
+\begin{equation}
+ \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+\end{equation}
+sein muss.
+Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist.
+Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine
+Verletzung der Randbedingungen.
+
+Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
+werden.
+Setzen wir nun die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
+ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+\[
+ X^{\prime}(0)
+ =
+ \alpha A \cos(\alpha 0) - \beta B \sin(\beta 0)
+ = 0.
+\]
+In diesem Fall muss $A = 0$ gelten.
+Zusammen mit der Bedignung für $x = l$
+folgt nun
+\[
+ X^{\prime}(l)
+ =
+ \alpha A \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l)
+ =
+ -\beta B \sin(\beta l)
+ = 0.
+\]
+
+Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck
+den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun
+\[
+\begin{aligned}
+ \sin(\beta l) &= 0 \\
+ \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+ \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+\end{aligned}
+\]
+und somit
+\[
+ \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+\]
+
+Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
+wie auch mit isolierten Enden
\begin{equation}
\label{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
\mu
=
- -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+ -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
\end{equation}
-Betrachten wir nun die zweite Gleichung der Separation
+
+
+Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
\[
@@ -263,7 +352,7 @@ Lösung
e^{-\kappa \mu t}
\]
führt.
-Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} die Lösung
+Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
\[
T(t)
=