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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-10-13 11:32:58 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-10-13 11:32:58 +0200
commit50d4a6fb4adb0a24acdb987a3e5108de66187651 (patch)
treeccfac9c4e77c7c92b19cd31adfc2a3bde2d9bb5b /buch
parentadd some info on elliptic functions (diff)
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SeminarSpezielleFunktionen-50d4a6fb4adb0a24acdb987a3e5108de66187651.zip
add ellipsenumfang
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex6
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex72
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile8
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m14
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdfbin0 -> 16542 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex44
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/references.bib7
8 files changed, 147 insertions, 6 deletions
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
index b0b1b32..aebc13d 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
@@ -306,12 +306,16 @@ $\beta$ ist dann
l(\alpha,\beta)
=
\int_\alpha^\beta
+\sqrt{
a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t
+}
\,dt
=
-a^2
+a
\int_\alpha^\beta
+\sqrt{
\sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \cos^2t
+}
\,dt.
\]
Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar.
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 1e35616..b0e1b64 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -15,7 +15,9 @@ neue spezielle Funktionen zu definieren.
\subsection{Definition
\label{buch:elliptisch:subsection:definition}}
-Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form
+Ein {\em elliptisches Integral} ist ein Integral der Form
+\index{elliptishes Integral}%
+\index{Integral, elliptisch}%
\begin{equation}
\int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx
\label{buch:elliptisch:def:allgemein}
@@ -33,7 +35,8 @@ Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat.
Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von
elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen
-der folgenden Form überführen lassen.
+der folgenden Form überführen lassen
+\cite[Abschnitt 164, p.~506]{buch:smirnov32}.
\begin{definition}
\label{buch:elliptisch:def:integrale123}
@@ -133,7 +136,7 @@ K(k)
E(k)
&=
\int_0^{\frac{\pi}2}
-\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi
+\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi
=
\int_0^{\frac{\pi}2}
\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi
@@ -161,6 +164,69 @@ Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123}
die {\em Jacobi-Normalform} heisst.
\index{Jacobi-Normalform}%
+\subsubsection{Umfang einer Ellipse}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf}
+\caption{Bogenlänge eines Viertels einer Ellipse mit Exzentrizität
+$\varepsilon$.
+\label{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}}
+\end{figure}
+Wir zeigen, wie sich die Berechnung des Umfangs $U$ einer Ellipse
+mit Halbachsen $a$ und $b$, $a\le b$, auf ein volltändiges elliptisches
+Integral zurückführen lässt.
+Der Fall $a>b$ kann behandelt werden, indem die $x$- und $y$-Koordinaten
+vertauscht werden.
+
+Die Parametrisierung
+\[
+t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix}
+\]
+einer Ellipse führt auf das Integral
+\begin{align*}
+U
+&=
+\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2 t}\,dt
+\notag
+\\
+&=
+4\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{a^2\sin^2t + b^2(1-\sin^2 t)}
+\,dt
+\notag
+\\
+&=
+4b \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-(b^2-a^2)/b^2\cdot \sin^2t}\,dt
+\label{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse}
+\end{align*}
+für den Umfang der Ellipse.
+Bei einem Kreis ist $a=b$ und der zweite Term unter der Wurzel fällt weg,
+der Umfang wird $4b\frac{\pi}2=2\pi b$.
+Die Differenz $e^2=b^2-a^2$ ist die {\em lineare Exzentrizität} der Ellipse,
+\index{lineare Exzentrizität}%
+der Quotient $e/b$ wird die {\em numerische Exzentrizität} der Ellipse
+genannt.
+Insbesondere ist $k = \varepsilon$.
+
+Das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} erhält jetzt die
+Form
+\[
+U
+=
+4b\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt
+\]
+und ist damit als elliptisches Integral zweiter Art erkannt.
+Für den Umfang der Ellipse finden wir damit die Formel
+\[
+U
+=
+4b E(k)
+=
+4b E(\varepsilon).
+\]
+Das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(\varepsilon)$
+liefert also genau den Umfang der eines Viertels Ellipse mit
+numerischer Exzentrizität $\varepsilon$ und kleiner Halbachse $1$.
\subsubsection{Komplementäre Integrale}
XXX Komplementäre Integrale \\
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index ef2e6fc..e366988 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -3,8 +3,14 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-all: lemniskate.pdf
+all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf
lemniskate.pdf: lemniskate.tex
pdflatex lemniskate.tex
+ellipsenumfang.pdf: ellipsenumfang.tex ekpath.tex
+ pdflatex ellipsenumfang.tex
+
+ekpath.tex: ellipsenumfang.m
+ octave ellipsenumfang.m
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m
new file mode 100644
index 0000000..84022bc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m
@@ -0,0 +1,14 @@
+#
+# ellipsenumfang
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+f = fopen("ekplot.tex", "w");
+fprintf(f, "\\def\\ekpath{\n");
+fprintf(f, "(0,{\\dy*%.4f})\n", pi / 2);
+for epsilon = (1:100) / 100
+ [k, e] = ellipke(epsilon^2);
+ fprintf(f, "--({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})\n", epsilon, e);
+endfor
+fprintf(f, "\n}\n");
+fclose(f);
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b52d5f3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex
new file mode 100644
index 0000000..9f7c788
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex
@@ -0,0 +1,44 @@
+%
+% ellipsenumfang.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\input{ekplot.tex}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{10}
+\def\dy{4}
+
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,6.8) coordinate[label={right:$E(\varepsilon)$}];
+\draw[->] (-0.1,0) -- (10.5,0) coordinate[label={$\varepsilon$}];
+\draw[line width=0.4pt] (0,\dy) -- (10,\dy);
+\draw[line width=0.4pt] (\dx,0) -- (10,\dy);
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \ekpath;
+\fill[color=red] (\dx,\dy) circle[radius=0.05];
+
+\foreach \y in {2,4,...,16}{
+ \draw (-0.1,{\dy*\y/10}) -- (0.1,{\dy*\y/10});
+ \pgfmathparse{\y/10}
+ \xdef\v{\pgfmathresult}
+ \node at (0,{\dy*\y/10}) [left] {$\v$};
+}
+\foreach \i in {1,...,9}{
+ \draw (\i,-0.1) -- (\i,0.1);
+ \node at (\i,0) [below] {$0.\i$};
+}
+\draw (10,-0.1) -- (10,0.1);
+\node at (10,0) [below] {$1.0$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index d4ad019..7083b63 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -127,7 +127,7 @@ s(r)
Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter
$m=-1$ ist
\[
-F(r,-1)
+K(r,-1)
=
\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
=
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index b047d23..dd813d0 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -68,3 +68,10 @@
url = {https://www.stephenwolfram.com/publications/history-future-special-functions/}
}
+@book{buch:smirnov32,
+ title = {Lehrgang der höheren Mathematik},
+ author = {Wladimir Ivanowitsch Smirnow},
+ volume = { III/2 },
+ publisher = {VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften},
+ year = 1979
+}