add ellipsenumfang

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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
index b0b1b32..aebc13d 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
@@ -306,12 +306,16 @@ $\beta$ ist dann
 l(\alpha,\beta)
 =
 \int_\alpha^\beta
+\sqrt{
 a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t
+}
 \,dt
 =
-a^2
+a
 \int_\alpha^\beta
+\sqrt{
 \sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \cos^2t
+}
 \,dt.
 \]
 Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar.
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 1e35616..b0e1b64 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -15,7 +15,9 @@ neue spezielle Funktionen zu definieren.
 
 \subsection{Definition
 \label{buch:elliptisch:subsection:definition}}
-Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form
+Ein {\em elliptisches Integral} ist ein Integral der Form
+\index{elliptishes Integral}%
+\index{Integral, elliptisch}%
 \begin{equation}
 \int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx
 \label{buch:elliptisch:def:allgemein}
@@ -33,7 +35,8 @@ Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat.
 
 Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von
 elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen 
-der folgenden Form überführen lassen.
+der folgenden Form überführen lassen
+\cite[Abschnitt 164, p.~506]{buch:smirnov32}.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:elliptisch:def:integrale123}
@@ -133,7 +136,7 @@ K(k)
 E(k)
 &=
 \int_0^{\frac{\pi}2}
-\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi
+\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi
 =
 \int_0^{\frac{\pi}2}
 \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi
@@ -161,6 +164,69 @@ Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123}
 die {\em Jacobi-Normalform} heisst.
 \index{Jacobi-Normalform}%
 
+\subsubsection{Umfang einer Ellipse}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf}
+\caption{Bogenlänge eines Viertels einer Ellipse mit Exzentrizität
+$\varepsilon$.
+\label{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}}
+\end{figure}
+Wir zeigen, wie sich die Berechnung des Umfangs $U$ einer Ellipse
+mit Halbachsen $a$ und $b$, $a\le b$, auf ein volltändiges elliptisches
+Integral zurückführen lässt.
+Der Fall $a>b$ kann behandelt werden, indem die $x$- und $y$-Koordinaten
+vertauscht werden.
+
+Die Parametrisierung
+\[
+t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix}
+\]
+einer Ellipse führt auf das Integral
+\begin{align*}
+U
+&=
+\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2 t}\,dt
+\notag
+\\
+&=
+4\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{a^2\sin^2t + b^2(1-\sin^2 t)}
+\,dt
+\notag
+\\
+&=
+4b \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-(b^2-a^2)/b^2\cdot \sin^2t}\,dt
+\label{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse}
+\end{align*}
+für den Umfang der Ellipse.
+Bei einem Kreis ist $a=b$ und der zweite Term unter der Wurzel fällt weg,
+der Umfang wird $4b\frac{\pi}2=2\pi b$.
+Die Differenz $e^2=b^2-a^2$ ist die {\em lineare Exzentrizität} der Ellipse,
+\index{lineare Exzentrizität}%
+der Quotient $e/b$ wird die {\em numerische Exzentrizität} der Ellipse
+genannt.
+Insbesondere ist $k = \varepsilon$.
+
+Das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} erhält jetzt die
+Form
+\[
+U
+=
+4b\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt
+\]
+und ist damit als elliptisches Integral zweiter Art erkannt.
+Für den Umfang der Ellipse finden wir damit die Formel
+\[
+U
+=
+4b E(k)
+=
+4b E(\varepsilon).
+\]
+Das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(\varepsilon)$
+liefert also genau den Umfang der eines Viertels Ellipse mit
+numerischer Exzentrizität $\varepsilon$ und kleiner Halbachse $1$.
 
 \subsubsection{Komplementäre Integrale}
 XXX Komplementäre Integrale \\
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index ef2e6fc..e366988 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -3,8 +3,14 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	lemniskate.pdf
+all:	lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf
 
 lemniskate.pdf:	lemniskate.tex
 	pdflatex lemniskate.tex
 
+ellipsenumfang.pdf:	ellipsenumfang.tex ekpath.tex
+	pdflatex ellipsenumfang.tex
+
+ekpath.tex:	ellipsenumfang.m
+	octave ellipsenumfang.m
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m
new file mode 100644
index 0000000..84022bc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m
@@ -0,0 +1,14 @@
+#
+# ellipsenumfang
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+f = fopen("ekplot.tex", "w");
+fprintf(f, "\\def\\ekpath{\n");
+fprintf(f, "(0,{\\dy*%.4f})\n", pi / 2);
+for epsilon = (1:100) / 100
+	[k, e] = ellipke(epsilon^2);
+	fprintf(f, "--({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})\n", epsilon, e);
+endfor
+fprintf(f, "\n}\n");
+fclose(f);
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b52d5f3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex
new file mode 100644
index 0000000..9f7c788
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex
@@ -0,0 +1,44 @@
+%
+% ellipsenumfang.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\input{ekplot.tex}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{10}
+\def\dy{4}
+
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,6.8) coordinate[label={right:$E(\varepsilon)$}];
+\draw[->] (-0.1,0) -- (10.5,0) coordinate[label={$\varepsilon$}];
+\draw[line width=0.4pt] (0,\dy) -- (10,\dy);
+\draw[line width=0.4pt] (\dx,0) -- (10,\dy);
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \ekpath;
+\fill[color=red] (\dx,\dy) circle[radius=0.05];
+
+\foreach \y in {2,4,...,16}{
+	\draw (-0.1,{\dy*\y/10})  -- (0.1,{\dy*\y/10});
+	\pgfmathparse{\y/10}
+	\xdef\v{\pgfmathresult}
+	\node at (0,{\dy*\y/10}) [left] {$\v$};
+}
+\foreach \i in {1,...,9}{
+	\draw (\i,-0.1) -- (\i,0.1);
+	\node at (\i,0) [below] {$0.\i$};
+}
+\draw (10,-0.1) -- (10,0.1);
+\node at (10,0) [below] {$1.0$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index d4ad019..7083b63 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -127,7 +127,7 @@ s(r)
 Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter
 $m=-1$ ist
 \[
-F(r,-1)
+K(r,-1)
 =
 \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
 =
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index b047d23..dd813d0 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -68,3 +68,10 @@
 	url = {https://www.stephenwolfram.com/publications/history-future-special-functions/}
 }
 
+@book{buch:smirnov32,
+	title = {Lehrgang der höheren Mathematik},
+	author = {Wladimir Ivanowitsch Smirnow},
+	volume = { III/2 },
+	publisher = {VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften},
+	year = 1979
+}