add new stuff about airy and hypergeometric functions

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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 00eee19..36937c7 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -106,7 +106,7 @@ und erhalten
 \begin{equation}
 x!
 =
-\frac{n!n^x}{(x+1)_n}\cdot
+\frac{n!\,n^x}{(x+1)_n}\cdot
 \frac{(n+1)_x}{n^x}.
 \label{buch:rekursion:gamma:eqn:produkt3}
 \end{equation}
@@ -139,7 +139,7 @@ Dies würde die folgende Definition rechtfertigen.
 Die Gamma-Funktion $\Gamma(x)$ einer Zahl
 $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert
 \[
-\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!n^{x-1}}{(x)_n}.
+\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}.
 \] 
 \end{definition}
 
@@ -170,11 +170,11 @@ dies ist möglich, indem man mit $x$ erweitert:
 \begin{align*}
 \Gamma(x+1)
 &=
-\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{(x+1)_n}
+\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^x}{(x+1)_n}
 =
-x\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)_n}
+x\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^x}{x(x+1)_n}
 =
-x\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{(x)_{n+1}}.
+x\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^x}{(x)_{n+1}}.
 \intertext{Wir müssen jetzt nur noch zeigen, dass der Grenzwert
 auf der rechten Seite gegen $\Gamma(x)$ konvergiert,
 in dessen Definition aber die Potenz $n^{x-1}$ vorkommt.
@@ -217,7 +217,7 @@ Dies ist aber viel zu kleine, um gute Approximationen auch für kleine
 Werte von $x$ zu geben.
 So findet man zum Beispiel für $x=\frac12$ und $n=170$ mit Octave
 \[
-\frac{n!n^{x-1}}{(x)_n}
+\frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}
 =
 \frac{170!}{\sqrt{170}\cdot \frac12\cdot\frac32\cdot\ldots\cdot\frac{339}{2}}
 =
@@ -304,7 +304,7 @@ berechnen wir
 \frac{1}{\Gamma(x)}
 &=
 \lim_{n\to\infty} 
-\frac{(x)_n}{n!n^{x-1}}
+\frac{(x)_n}{n!\,n^{x-1}}
 =
 \lim_{n\to\infty} 
 \frac{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}{1\cdot 2\cdot3\cdots (n-1)\cdot n\cdot n^{x-1}}
@@ -584,6 +584,243 @@ Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
 %
 \subsection{Die Beta-Funktion}
 
+\begin{definition}
+Das Beta-Integral ist das Integral
+\[
+B(x,y)
+=
+\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
+\]
+für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$.
+\end{definition}
+
+Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$.
+Für $y=1$ folgt ausserdem
+\[
+B(x,1) = \int_0^1 t^{x-1}\,dt = \biggl[ \frac{t^x}{x}\biggr]_0^1 = \frac{1}{x}.
+\]
+Speziell gilt $B(1,1)=1$.
+
+\subsubsection{Rekursionsformeln für das Beta-Integral}
+Aus der Definition folgt direkt
+\begin{align*}
+B(x,y+1)
+&=
+\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y+1-1}\,dt
+=
+\int_0^1 (1-t) t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
+\\
+&=
+\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
+-
+\int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\,dt
+\\
+&=
+B(x,y) - B(x+1,y)
+\end{align*}
+oder
+\begin{equation}
+B(x+1,y) = B(x,y) - B(x,y+1).
+\label{buch:rekursion:gamma:betarek1}
+\end{equation}
+%
+%XXX Vergleich mit der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten
+%
+Durch partielle Integration kann man eine weitere Rekursionsformel finden.
+Dazu berechnet man
+\begin{align}
+B(x,y+1)
+&=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\,dt
+\notag
+\\
+&=
+\biggl[\frac{t^x}x(1-t)^y\biggr]_0^1
++
+\frac{y}x \int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}\,dt
+\notag
+\\
+&=
+ \frac{y}x B(x+1,y).
+\label{buch:rekursion:gamma:betarek2}
+\end{align}
+Durch Gleichsetzen
+\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek1}
+und
+\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek2}
+entsteht die Rekursionsformel
+\[
+B(x,y)-B(x,y+1)
+=
+B(x+1,y)
+=
+\frac{x}{y}B(x,y+1)
+\]
+oder
+\begin{equation}
+B(x,y)
+=
+\frac{x+y}{y}B(x,y+1).
+\label{buch:rekursion:gamma:betarek3}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Beta-Funktion und Gamma-Funktion}
+Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3}
+kann jetzt dazu verwendet werden, eine Darstellung der Beta-Funktion
+durch die Gamma-Funktion zu finden.
+Durch $n$-fache Anwendung von \eqref{buch:rekursion:gamma:betarek3}
+ergibt sich zunächst
+\begin{align*}
+B(x,y)
+&=
+\frac{x+y}{y}
+B(x,y+1)
+=
+\frac{x+y}{y}
+\frac{x+y+1}{y+1}
+B(x,y+2)
+\\
+&=
+\frac{x+y}{y}
+\frac{x+y+1}{y+1}
+\cdot
+\ldots
+\cdot
+\frac{x+y+n-1}{y+n-1}
+B(x,y+n)
+=
+\frac{(x+y)_n}{(y)_n}
+B(x,y+n)
+\intertext{Die Beta-Funktion auf der rechten Seite kann als Integral
+geschrieben werden:}
+&=
+\frac{(x+y)_n}{(y)_n}
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt.
+\intertext{Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den
+Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss
+Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren
+$1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein.
+Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in
+das Integral.
+So ergibt sich}
+&=
+\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}
+\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}
+\int_0^1 n^{x} t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt.
+\intertext{Mit der Substition $s/n=t$ wird das Integral zu einem Integral
+über das Interval $[0,n]$}
+&=
+\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}
+\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}
+\int_0^n
+n^{x}
+\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1}
+\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1}
+\,\frac{ds}{n}.
+\\
+&=
+\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}
+\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}
+\int_0^n
+n^{x-1}
+\biggl(\frac{s}{n}\biggr)^{x-1}
+\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y+n-1}
+\,ds.
+\intertext{Beim Grenzübergang $n\to\infty$ wird daraus}
+&=
+\underbrace{\frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}}}_{\displaystyle \to 1/\Gamma(x+y)}
+\underbrace{\frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n}}_{\displaystyle\to \Gamma(y)}
+\int_0^n
+s^{x-1}
+\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{n}}_{\displaystyle\to e^{-s}}
+\underbrace{\biggl(1-\frac{s}{n}\biggr)^{y-1}}_{\displaystyle\to 1}
+\,ds.
+\\
+&\to \frac{\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds
+=
+\frac{\Gamma(y)\Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}.
+\end{align*}
+
+\begin{satz}
+Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach
+\begin{equation}
+B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
+\end{equation}
+berechnet werden.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
+Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
+\begin{equation}
+\binom{n}{k}
+=
+\frac{n!}{(n-k)!\,k!}
+=
+\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
+=
+\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
+=
+\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}
+\label{buch:rekursion:gamma:binombeta}
+\end{equation}
+geschrieben werden.
+Die Rekursionsbeziehung
+\[
+\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}
+\]
+der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck,
+die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die
+Binomialkoeffizienten macht daraus
+\[
+\frac{n-1}{B(n-k,k-1)}
+=
+\frac{n-2}{B(n-k,k-2)}
++
+\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)},
+\]
+die für ganzzahlige Argumente gilt.
+Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt.
+\begin{align*}
+\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
+&=
+\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
++
+\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
+\\
+\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
+&=
+\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
++
+\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
+\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe
+der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren
+mit dem gemeinsamen Nenner
+$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus}
+\Gamma(n)
+&=
+(k-2)
+\Gamma(n-1)
++
+(n-k-1)
+\Gamma(n-1)
+\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf
+die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen
+ein Faktor
+$\Gamma(n-1)$ auftritt:}
+(n-1)\Gamma(n-1)
+&=
+(k-2)\Gamma(n-1)
++
+(n+k-1)\Gamma(n-1)
+\\
+n-1
+&=
+k-2
++
+n-k-1
+\end{align*}
+
+
 %
 %
 %
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
index 2bbb1f4..d836277 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -825,4 +825,89 @@ Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$
 vorkommt, aber nicht in der
 Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}.
 
+\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion
+$\mathstrut_2F_1$}
+Das Integral
+\[
+f(x)
+=
+\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt
+\]
+kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden.
+Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden
+Faktor als
+\[
+(1-xt)^{-a}
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k
+\]
+zu schreiben.
+Setzt man dies ins Integral ein, erhält man
+\[
+f(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
+\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
+\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt.
+\]
+Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe
+der Gamma-Funktion geschrieben werden.
+Es gilt
+\[
+B(k+b,c-b)
+=
+\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}.
+\]
+Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man
+\begin{align*}
+\Gamma(u+k)
+&=
+\Gamma(u+k-1) (u+k-1)
+=
+\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1)
+\\
+&=
+\ldots
+\\
+&=
+\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1)
+\end{align*}
+schreiben, womit das Integral zu
+\begin{align*}
+f(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
+\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
+\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k}
+\\
+&=
+\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}
+\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k
+=
+\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x)
+\end{align*}
+vereinfacht werden kann.
+Damit ist das Integral bestimmt. 
+Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man
+die folgende Integraldarstellung.
+
+\begin{satz}
+Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die
+Integraldarstellung
+\[
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x
+\biggr)
+=
+\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}
+\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt.
+\]
+\end{satz}
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
index 13880b8..5cf15b5 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
@@ -218,7 +218,7 @@ y_1(x)
 =
 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^\alpha
 \sum_{k=0}^\infty
-\frac{(-1)^k}{\Gamma(\alpha+k+1)}
+\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\alpha+k+1)}
 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k}.
 \]
 Dabei haben wir es durch
@@ -233,7 +233,7 @@ J_{\alpha}(x)
 =
 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^\alpha
 \sum_{k=0}^\infty
-\frac{(-1)^k}{\Gamma(\alpha+k+1)}
+\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\alpha+k+1)}
 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k}
 \]
 heisst {\em Bessel-Funktionen der Ordnung $\alpha$}.
@@ -247,14 +247,14 @@ Die Summe beginnt also erst bei $k=n$ oder
 \begin{align*}
 J_{-n}(x)
 &=
-\sum_{k=n}^\infty \frac{(-1)^k}{m!k!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k-n}
+\sum_{k=n}^\infty \frac{(-1)^k}{m!\,k!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k-n}
 =
 \sum_{l=0}^\infty
-\frac{(-1)^{l+n}}{m!(l+n)!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2(l+n)-n}
+\frac{(-1)^{l+n}}{m!\,(l+n)!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2(l+n)-n}
 =
 (-1)^n
 \sum_{l=0}^\infty
-\frac{(-1)^l}{m!\Gamma(l+n+1)}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2l+n}
+\frac{(-1)^l}{m!\,\Gamma(l+n+1)}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2l+n}
 \\
 &=
 (-1)^n
@@ -283,7 +283,7 @@ Die erzeugende Funktion der Bessel-Funktionen ist die Summe
 \sum_{n\in\mathbb{Z}}
 {\color{darkred}
 \sum_{k=0}^\infty
-\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+n+1)}
+\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+n+1)}
 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k+n}
 }
 z^n.
@@ -296,7 +296,7 @@ Wir schreiben $m=k+n$ und drücken alle Terme durch $k$ und $m$ aus:}
 &=
 \sum_{n\in \mathbb{Z}}
 \sum_{k=0}^\infty
-\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(n+k+1)}
+\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(n+k+1)}
 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^k
 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{n+k}
 z^{n+k}
diff --git a/buch/chapters/050-differential/chapter.tex b/buch/chapters/050-differential/chapter.tex
index e4cd7d7..08bf6c6 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/chapter.tex
@@ -64,11 +64,12 @@ die Bessel-Funktionen erster Art vorgestellt.
 \input{chapters/050-differential/bessel.tex}
 \input{chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/060-differential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/050-differential/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
-%\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{501}
+\uebungsaufgabe{502}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex
index 1cba88a..1d3cb64 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex
@@ -141,30 +141,254 @@ c\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}} \frac{1}{k!}
 -ab \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\frac{1}{k!}
 \\
 &=
-\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}
-\frac{1}{(k-2)!}
+\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}}
+\frac{1}{k!}
 \biggl(
-\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}\frac1{k-1}
--1
+(a+k)(b+k)k
+-(c+k)(k-1)k
 +
-c\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}\frac1{(k-1)k}
+c(a+k)(b+k)
 \\
 &\qquad
--(a+b+1)\frac1{k-1} 
--ab \frac1{(k-1)k}
+\qquad
+\qquad
+-(a+b+1)(c+k)k
+-ab(c+k)
+\biggr).
+\intertext{Der zweite, vierte und fünfte Term können zu}
+&=
+\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}}
+\frac{1}{k!}
+\biggl(
+(a+k)(b+k)k
++
+c(a+k)(b+k)
+-(ab+ak+bk+k^2)(c+k)
 \biggr)
-\\
+\intertext{zusammengefasst werden.
+Der Faktor $(ab+ak+bk+k^2)$ kann als Produkt $(a+k)(b+k)$ faktorisiert
+werden, der dann als gemeinsamer Faktor aus allen Termen ausgeklammert
+werden kann:}
 &=
 \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_{k+1}}
 \frac{1}{k!}
 \biggl(
-(a+k)(b+k)k - (c+k)(k-1)k + (a+k)(b+k) - (a+b+1)(c+k)k-ab(c+k)
+(a+k)(b+k)k
++
+c(a+k)(b+k)
+-(a+k)(b+k)(c+k)
+\biggr)
+\\
+&=
+\frac{(a)_{k+1}(b)_{k+1}}{(c)_{k+1}}
+\frac{1}{k!}
+\biggl(
+k
++
+c
+-(c+k)
 \biggr)
+=0.
 \end{align*}
+Damit ist gezeigt, dass $\mathstrut_2F_1(a,b;c;x)$ eine Lösung
+der Differentialgleichung ist.
 
+Die hypergeometrische Reihe kann auch direkt mit Hilfe der
+Potenzreihenmethode als Lösung der Differentialgleichung gefunden 
+werden.
 
+\subsection{Lösung als verallgemeinerte Potenzreihe}
+Da die hypergeometrische Reihe eine Differentialgleichung
+zweiter Ordnung mit einer Singularität bei $x=0$ ist, 
+kann man versuchen eine zweite, linear unabhängige Lösung mit
+Hilfe der Methode der verallgemeinerten Potenzreihen zu finden.
+Dazu setzt man die Lösung in der Form
+\begin{align*}
+y_2(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}
+&
+&\Rightarrow&
+y_2'(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1}
+\\
+&&
+&&
+y_2''(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-2}
+\end{align*}
+an, wobei $a_0\ne 0$ sein soll.
+Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt
+\begin{align*}
+0&=
+x(1-x)y_2''(x) + (c-(a+b+1)x) y_2'(x) -aby_2(x)
+\\
+&=
+x(1-x)
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-2}
++
+(c-(a+b+1)x)
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1}
+-
+abx^{\varrho}\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}
+\\
+&=
+-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}
++
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k-1}
++
+c
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k-1}
+\\
+&\qquad
+-
+(a+b+1)
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k}
+-
+ab
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}.
+\intertext{Durch Verschiebung des Summationsindex in der zweiten
+und dritten Summe wird der Koeffizientenvergleich etwas
+einfacher}
+&=
+-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}
++
+\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)(\varrho+k)a_{k+1}x^{\varrho+k}
++
+c
+\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)a_{k+1}x^{\varrho+k}
+\\
+&\qquad
+-
+(a+b+1)
+\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)a_kx^{\varrho+k}
+-
+ab
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^{\varrho+k}
+\\
+&=
+-\sum_{k=0}^\infty (\varrho+k)(\varrho+k-1)a_kx^{\varrho+k}
++
+\sum_{k=-1}^\infty (\varrho+k+1)(\varrho+k+c)a_{k+1}x^{\varrho+k}
+\\
+&\qquad
+-
+\sum_{k=0}^\infty ((\varrho+k)(a+b+1)+ab)a_kx^{\varrho+k}
+\\
+&=
+\bigl(
+\varrho(\varrho-1)
++c\varrho \bigr)
+x^{\varrho-1}
++
+\sum_{k=0}^\infty
+\bigl(
+-(\varrho+k)(\varrho+k-1)a_k
++(\varrho+k+1)(\varrho+k+c)a_{k+1}
+\\
+&
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+-((\varrho+k)(a+b+1)+ab)a_k
+\bigr)
+x^{\varrho+k}.
+\end{align*}
+Aus dem ersten Term kann man die Indexgleichung
+\[
+0
+=
+\varrho(\varrho-1)+c\varrho
+=
+\varrho(\varrho-1+c)
+\]
+ablesen, die die Nullstellen $\varrho=0$ und $\varrho=1-c$ hat.
+Die Nullstelle $\varrho=0$ ergibt natürlich die bereits gefundene
+hypergeometrische Reihe.
 
+Nach Einsetzen der zweiten Lösung der Indexgleichung in der Summe
+legt der Koeffizientenvergleich eine Beziehung
+\begin{align}
+0
+&=
+\bigl(
+-(k-c+1)(k-c)
+-(k-c+1)(a+b+1)+ab
+\bigr)a_k
++
+(k-c+2)(k+1)
+a_{k+1} 
+\notag
+\intertext{zwischen $a_k$ und $a_{k+1}$ fest.
+Daraus kann man den Quotienten aufeinanderfolgender
+Koeffizienten als}
+\frac{a_{k+1}}{a_k}
+&=
+\frac{
+-(k-c+1)(k-c)
+-(k-c+1)(a+b+1)+ab
+}{
+\notag
+(k-c+2)(k+1)
+}
+\\
+&=
+%(%i4) factor(coeff(y,q,0))
+%(%o4)                  - (k - c + a + 1) (k - c + b + 1)
+%(%i5) factor(coeff(y,q,1))
+%(%o5)                         (k + 1) (k - c + 2)
+\frac{
+(a-c+1+k)
+(b-c+1+k)
+}{
+(2-c+k)(k+1)
+}
+\label{buch:differentialgleichungen:hypergeo:verallgkoef}
+\end{align}
+finden.
+Setzt man $a_0=1$, ist die zweite Lösung ist also wieder eine
+hypergeometrische Funktion.%, nämlich
+%\[
+%y_2(x)
+%=
+%x^{1-c}
+%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a-c+1)_k(b-c+1)_k}{(2-c)_k}\frac{x^k}{k!}
+%=
+%x^{1-c}
+%\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a-c+1,b-c+1\\2-c\end{matrix};x\biggr)
+%\]
+Diese Lösung ist aber nur möglich, wenn in
+\eqref{buch:differentialgleichungen:hypergeo:verallgkoef}
+der Nenner nicht verschwindet, d.~h.~$2-c+k\ne 0$
+oder $c \ne k+2$ für all natürlichen $k$.
+$c$ darf also kein natürliche Zahl $\ge 2$ sein.
+Wir fassen die Resultate dieses Abschnitts im folgenden Satz zusammen.
 
-
-
-
+\begin{satz}
+Die eulersche hypergeometrische Differentialgleichung
+\begin{equation}
+x(1-x)\frac{d^2y}{dx^2}
++(c+(a+b+1)x)\frac{dy}{dx}
+-ab y
+=
+0
+\end{equation}
+hat die Lösung
+\[
+y_1(x)
+=
+\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x\biggr).
+\]
+Falls $c-2\not\in \mathbb{N}$ ist, ist
+\[
+y_2(x)
+=
+x^{1-c} \mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a-c+1,b-c+1\\2-c\end{matrix};x\biggr)
+\]
+eine zweite, linear unabhängige Lösung.
+\end{satz}
diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/501.tex b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/501.tex
new file mode 100644
index 0000000..d27e21c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/501.tex
@@ -0,0 +1,63 @@
+Finden Sie eine Lösung der Airy Differentialgleichung
+\[
+y''-xy=0
+\]
+mit Anfangsbedingungen $y(0)=a$ und $y'(0)=b$.
+
+\begin{loesung}
+An der Stelle $x=0$ folgt aus der Differentialgleichung, dass $y''(0)=0$
+gelten muss.
+In einem Potenzreihenansatz der Form
+\begin{align*}
+y(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
+&&\Rightarrow&
+y'(x)
+&=
+\sum_{k=1}^\infty a_kx^{k-1}
+\\
+&&&&
+y''(x)
+&=
+\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2}
+\end{align*}
+kann man daher $a_2=0$ setzen und damit die Summation in der
+Reihenentwicklung für $y''(x)$ erst bei $k=3$ beginnen.
+
+Setzt man den Ansatz in die Differentialgleichung ein, erhält man
+\begin{align*}
+0
+&=
+y''(x)-xy(x)
+\\
+&=
+\sum_{k=3}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2}
+-
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^{k+1}
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (k+3)(k+2)a_{k+3}x^{k+1}
+-
+\sum_{k=0}^\infty a_{k}x^{k+1}
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \bigl((k+3)(k+2)a_{k+3}-a_{k}\bigr)x^{k+1}.
+\end{align*}
+Koeffizientenvergleich liefert jetzt die Rekursionsbeziehungen
+\[
+a_{k+3} = \frac1{(k+3)(k+2)} {a_k}.
+\]
+Da $a_2=0$ ist folgt daraus auch, dass $a_5=a_8=a_{11}=\dots=0$ ist.
+
+Aus den Anfangsbedingungen liest man ab dass $a_0=a$ und $a_1=b$, daraus
+kann man jetzt die Lösung konstruieren, es ist
+\[
+y(x)
+=
+a\biggl(1+\frac{1}{2\cdot 3}x^3 + \frac{1}{2\cdot3\cdot5\cdot 6}x^6 + \dots\biggr)
++
+b\biggl(x+\frac{1}{3\cdot 4}x^4 + \frac{1}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7+\dots\biggr).
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/502.tex b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/502.tex
new file mode 100644
index 0000000..cb0256d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/502.tex
@@ -0,0 +1,60 @@
+Schreiben Sie die in Aufgabe~\ref{501} gefundenen Lösungen der
+Airy-Differentialgleichung als hypergeometrische Funktionen.
+
+\begin{loesung}
+Die Lösung für $a=1$ und $b=0$ hat die Reihenentwicklung
+\begin{align*}
+y_1(x)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6\cdot\ldots\cdot (3k-1)\cdot 3k}
+x^{3k}
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{2\cdot 5\cdot \ldots\cdot (3k-1)}
+\frac{1}{3\cdot 6\cdot \ldots\cdot 3k}
+x^{3k}
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{3^k\cdot \frac23\cdot(\frac23+1)\cdot\ldots\cdot(\frac23+k-1)}
+\frac{1}{3^k\cdot k!}
+(x^3)^k
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\end{align*}
+Aus der zweiten Lösung für $a=0$ und $b=1$ muss erst der gemeinsame
+Faktor $x$ ausgeklammert werden:
+\begin{align*}
+y_2(x)
+&=
+x\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{3\cdot4\cdot 6\cdot 7\cdot\ldots\cdot 3k\cdot(3k+1)}x^{3k}
+\\
+&=
+x\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{4\cdot 7\cdot\ldots\cdot (3k+1)}
+\frac{1}{3^k}
+\frac{(x^3)^k}{k!}
+\\
+&=
+x\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{\frac43\cdot (\frac43+1)\cdot (\frac43+2)\cdot\ldots\cdot \frac43+k-1}
+\frac{1}{(3^2)^k}
+\frac{(x^3)^k}{k!}
+\\
+&=
+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
+\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/503.tex b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/503.tex
new file mode 100644
index 0000000..7cb47de
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/503.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+Verwenden Sie die Funktion \texttt{gsl_sf_hyperg_0F1} oder ein Programm,
+welches die Reihenentwicklung der hypergeometrischen Funktion
+$\mathstrut_0F_1$ direkt berechnet, um die
+in Aufgabe \ref{501} gefundenen Lösungen der Airy-Differentialgleichung
+zu plotten.
+
+\begin{loesung}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.pdf}
+\caption{Plot der Lösungen der Airy-Differentialgleichung $y''-xy=0$
+zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$ in {\color{red}rot}
+und $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ in {\color{blue}blau}.
+\end{figure}
+Die Implementation der hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ in der
+GNU Scientific Library führt $\mathstrut_0F_1$ auf Bessel-Funktionen
+zurück, was für $c=\frac23$ nicht möglich ist. 
+In diesem Fall ist also eine eigene Implementation nötig.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/Makefile b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..b62f60c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/Makefile
@@ -0,0 +1,15 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	airy.pdf 
+
+airy:	airy.cpp
+	g++ -o airy -Wall -g -O2 `pkg-config --cflags gsl` airy.cpp `pkg-config --libs gsl`
+
+airypaths.tex:	airy
+	./airy --debug
+
+airy.pdf:	airy.tex airypaths.tex
+	pdflatex airy.tex
diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp
new file mode 100644
index 0000000..20cad38
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp
@@ -0,0 +1,118 @@
+/*
+ * airy.cpp
+ *
+ * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cmath>
+#include <cstdio>
+#include <cstdlib>
+#include <string>
+#include <getopt.h>
+#include <gsl/gsl_sf_hyperg.h>
+
+bool	debug = false;
+
+struct option	options[] = {
+{ "debug",	no_argument,		0,		'd' },
+{ "outfile",	required_argument,	0,		'o' },
+{ "a",		required_argument,	0,		'a' },
+{ "b",		required_argument,	0,		'b' },
+{ "s",		required_argument,	0,		's' },
+{ NULL,		0,			0,		 0  }
+};
+
+double	h0f1(double c, double x) {
+	if (debug)
+		fprintf(stderr, "%s:%d: c = %.5f, x = %.5f\n",
+			__FILE__, __LINE__, c, x);
+	double	s = 0;
+	int	k = 0;
+	double	term = 1.;
+	s += term;
+	int	counter = 0;
+	while (fabs(term) > 0.000000000001) {
+		k++;
+		term *= x / ((c+k-1) * k);
+		s += term;
+	//	if (debug)
+	//		fprintf(stderr, "term = %.14f\n", term);
+		counter++;
+	}
+	if (debug)
+		fprintf(stderr, "x = %f, terms = %d\n", x, counter);
+	return s;
+}
+
+double	f0(double x) {
+	//return gsl_sf_hyperg_0F1(2/3, x*x*x/9.);
+	return h0f1(2./3., x*x*x/9.);
+}
+double	f1(double x) {
+	//return gsl_sf_hyperg_0F1(2/3, x*x*x/9.);
+	return h0f1(2./3., x*x*x/9.);
+}
+
+double	f2(double x) {
+	return x * gsl_sf_hyperg_0F1(4./3., x*x*x/9.);
+}
+
+double	f3(double x) {
+	return x * h0f1(4./3., x*x*x/9.);
+}
+
+void	plot(FILE *outfile, const char *name, double (*f)(double x),
+		double a, double b, int steps) {
+	fprintf(outfile, "\\def\\%s{\n", name);
+	fprintf(outfile, "({%.5f*\\dx},{%.5f*\\dy})", a, f(a));
+	double	h = (b-a)/steps;
+	for (int i = 0; i <= steps; i++) {
+		double	x = a + h*i;
+		if (debug)
+			fprintf(stderr, "x = %.5f\n", x);
+		fprintf(outfile, "\n\t--({%.5f*\\dx},{%.5f*\\dy})",
+			x, f(x));
+	}
+	fprintf(outfile, "}\n");
+}
+
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	std::string	outfilename("airypaths.tex");
+	int	c;
+	int	longindex;
+	double	a = -8;
+	double	b = 2.5;
+	int	steps = 200;
+	while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "a:b:do:s:",
+		options, &longindex)))
+		switch (c) {
+		case 'a':
+			a = std::stod(optarg);
+			break;
+		case 'b':
+			b = std::stod(optarg);
+			break;
+		case 'd':
+			debug = true;
+			break;
+		case 'o':
+			outfilename = std::string(optarg);
+			break;
+		case 's':
+			steps = std::stoi(optarg);
+			break;
+		}
+
+	if (debug)
+		fprintf(stderr, "%s:%d: outfile: '%s'\n",
+			__FILE__, __LINE__, outfilename.c_str());
+
+	FILE	*outfile = fopen(outfilename.c_str(), "w");
+
+	plot(outfile, "yonepath", f1, a, b, 100);
+	plot(outfile, "ytwopath", f2, a, b, 100);
+	plot(outfile, "ythreepath", f3, a, b, 100);
+	
+	fclose(outfile);
+
+	return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.pdf b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.pdf
new file mode 100644
index 0000000..f52e601
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.pdf
diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.tex b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.tex
new file mode 100644
index 0000000..27ee546
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\input{airypaths.tex}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+% add image content here
+\def\dx{1}
+\def\dy{1}
+
+\begin{scope}
+\clip ({-8*\dx},{-1.3*\dy}) rectangle ({2.5*\dx},{4*\dy});
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \yonepath;
+%\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \ytwopath;
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] \ythreepath;
+\end{scope}
+
+\draw[->] (-8.1,0) -- (2.9,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-1.4) -- (0,4.4) coordinate[label={$y$}];
+
+\foreach \x in {-8,...,-1}{
+	\draw ({\x*\dx},-0.1) -- ({\x*\dx},0.1);
+}
+\foreach \y in {-1,1,2,3,4}{
+	\draw (-0.1,{\y*\dy}) -- (0.1,{\y*\dy});
+}
+\draw ({\dx},-0.1) -- ({\dx},0.1);
+\draw ({2*\dx},-0.1) -- ({2*\dx},0.1);
+
+\node at (\dx,0) [below] {$1$};
+\node at ({2*\dx},0) [below] {$2$};
+
+\foreach \x in {-7,...,-1}{
+	\node at ({\x*\dx},0) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {2,3,4}{
+	\node at (-0.1,{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+\node at (-0.1,\dy) [above left] {$-1$};
+\node at (0.1,-\dy) [right] {$-1$};
+
+\node[color=red] at ({-1.2*\dx},{0.6*\dy}) [above left] {$y_1(x)$};
+\node[color=blue] at ({-1.4*\dx},{-1.1*\dy}) [below] {$y_2(x)$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/050-differential/verallghyper.maxima b/buch/chapters/050-differential/verallghyper.maxima
new file mode 100644
index 0000000..d914bbc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/verallghyper.maxima
@@ -0,0 +1,12 @@
+x:
+-(rho+k)*(rho+k-1)
++(rho+k+1)*(rho+k)*q
++c*(rho+k+1)*q
+-(a+b+1)*(rho+k)-a*b;
+
+y: subst(1-c,rho,x);
+
+factor(coeff(y, q, 0));
+factor(coeff(y, q, 1));
+
+