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Sturmliouville/erik branch

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index bef8a39..948217a 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -4,15 +4,132 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
+
+% TODO:
+%  state goal
+%  use only what is necessary
+%  make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible)
+%    -> Eigenvalue problem with matrices only
+%    -> prepare reader for following examples
+%
+% order:
+%  1. Eigenvalue problems with matrices
+%  2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem
+%  3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent)
+%  4. Spectral theorem (brief)
+%  5. Base of orthonormal functions
+
 \section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
 Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
+Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
+zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann.
+Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
+unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind.
+Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
+dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
+geschlossen.
+
+\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
+\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}}
+
+% TODO: intro
+
+Angenomen es sei eine reelle, symmetrische $n \times n$-Matrix $A$ gegeben.
+Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass
+\[
+    \langle Av, w \rangle
+    =
+    \langle v, Aw \rangle
+\]
+für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist.
+
+Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix
+selbstadjungiert ist.
+Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}
+für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist.
+
+Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
+In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in  \mathbb{R}^n$ des 
+Eigenwertproblems
+\[
+    A v_i
+    =
+    \lambda_i v_i
+    \qquad \lambda_i \in \mathbb{R}
+\]
+eine Orthogonalbasis.
+
+\subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem}
+
+In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits
+der Operator
+\[
+    L
+    =
+    \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right)
+\]
+eingeführt.
+Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung 
+\[
+    (p(x)y'(x))' + q(x)y(x)
+    =
+    \lambda w(x) y(x)
+\]
+in das Eigenwertproblem
+\begin{equation}
+    \label{sturmliouville:eigenvalue-problem}
+    L y
+    =
+    \lambda y.
+\end{equation}
+umzuschreiben.
+
+\subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
+
+Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher
+angeschaut.
+Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
+Operator $L$ genauer betrachtet.
+Analog zur Matrix $A$ aus 
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
+$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
+\[
+    \langle L v, w\rangle
+    =
+    \langle v, L w\rangle
+\]
+gilt.
+Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
+gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems
+sicher gestellt.
+
+Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu
+schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird
+im Weiteren nicht näher diskutiert.
+
+Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
+Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
+Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss.
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\iffalse
+
+\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen
+%\label{sturmliouville:section:solution-properties}
+}
+\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
+
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
 zustande kommen.
 
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in 
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in
 Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
 wurde, noch etwas genauer angeschaut.
 Es wird also im Folgenden
@@ -76,8 +193,10 @@ des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
 Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
 
 Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
 erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
 des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file
+Basisfunktionen ist.
+
+\fi
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index f58baf9..4ed3752 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -3,11 +3,31 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
+
+% TODO:
+% order:
+%   1. State goal of showing examples in intro
+%   2. Show Sturm-Liouville form 
+%   3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples
+%      (make singular property brief)
+%
+% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions
+% Check for readability 
+
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
 \rhead{Einleitung}
-Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville.
-Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
+Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
+Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
+französischen Mathematiker Joseph Liouville.
+Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
+entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
+jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen
+Differentialgleichungen.
+Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
+Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle
+Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche
+Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die
+partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
 
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
@@ -18,14 +38,23 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
 als
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation}
-	\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 
+	\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
+	\lambda w(x)) y
+	=
+	0 
 \end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
+geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung
+bezeichnet.
 \end{definition}
-Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden.
+Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
+in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt
+werden.
+
+Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. 
 
 \subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
-Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen.
+Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
+Differentialgleichung genau zu bestimmen.
 Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
@@ -37,51 +66,39 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
 
 
-\subsection{Eigenwertproblem}
-Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems.
-Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles  konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
-der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
-Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren.
-Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
-Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
-\begin{equation}
-	\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
-\end{equation}
+\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}}
+Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
+ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
+Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt.
+Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
+oder Dichtefunktion bezeichnet.
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. 
 
-Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y -
-dies gilt für das Intervall (a,b).
-Somit ergibt die Gleichung
-\begin{equation}
-	\label{eq:skalar-sturm-liouville}
-	\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
-\end{equation}
 
-\subsection{Koeffizientenfunktionen}
-Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
-Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems.
 
 %
 %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
 %
 
-\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
-Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden.
+\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem
+\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
+Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
+Bedingungen beachtet werden.
 \begin{definition}
 	\label{def:reguläres_sturm-liouville-problem}
 	\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
-		\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein.
-		\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein.
+		\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und
+		reell sein.
+		\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
+		sein.
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
-		\item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
+		\item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei
+		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen.
-
-
-
+Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
@@ -92,8 +109,11 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaft
 		\end{aligned}
 	\end{equation}
 	ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
-	Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
+	die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
+	Schaut man jetzt die Bedingungen im
+	Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit
+	unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
 		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
@@ -101,11 +121,11 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaft
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung eindeutige Ergebnisse hat.
-Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der Lösungsfunktion liegen.
-Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
-
- 
-
-
-
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide
+Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung
+eindeutige Ergebnisse hat.
+Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der
+Lösungsfunktion liegen.
+Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es
+immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die
+Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index 4b5b8af..d77e068 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -9,6 +9,11 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler}
 
+% TODO: Leser Übersicht geben
+%   -> Repetition: Was ist Sturm-Liouville-Problem
+%   -> Eigenschaften der Lösungen
+%   -> Beispiele erwähnen
+
 \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
 %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem"
 \input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index c304632..cad71d7 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,9 +4,11 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
+\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
-Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
+Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
 \begin{align*}
 	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
 	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
@@ -15,15 +17,25 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 
+	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) +
+	(0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y
+	=
+	0 
 \end{equation}
-nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
+ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 
 \subsubsection*{regulär oder singulär?}
-Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
-Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
+Für das reguläre Problem laut der
+Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
+$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
+$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
+von Hyperbelfunktionen
 \begin{equation}
-	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
+	T_n(x)
+	=
+	\cos n (\arccos x)
 \end{equation}.
 Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
 \begin{equation}
@@ -31,7 +43,8 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
 		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
 \end{equation},
 jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
+müssen.
 Die Funktion
 \begin{equation*}
 	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
@@ -40,7 +53,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 
 \subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
+Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
+sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
 Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
@@ -48,8 +62,10 @@ Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
 	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
 \end{aligned} 
 \end{equation}
-Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
-Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
+(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die
+Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
@@ -57,24 +73,17 @@ Somit erhält man
 	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
 	\end{aligned}
 \end{equation}
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
+damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige
+$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome
+auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
+Lösungen orthogonal sind.
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und
+	$y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
 	\]
 \end{beispiel}
-
- 
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index a72c562..4992150 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -5,12 +5,16 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
+\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
+(Wärmeleitung)}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
 betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
+% TODO: u is dependent on 2 variables (t, x)
+% TODO: mention initial conditions u(0, x)
+
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
 Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
 Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
@@ -20,7 +24,7 @@ die partielle Differentialgleichung
     \frac{\partial u}{\partial t} =
     \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}},
 \end{equation}
-wobei der Stab in diesem Fall auf der $X$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
+wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
 
 Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
 Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
@@ -355,6 +359,14 @@ wie auch mit isolierten Enden
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \end{equation}
 
+% TODO: infinite base vectors and fourier series
+\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
+
+% TODO: check ease of reading
+\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten}
+
+% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection
+
 %
 % Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
 %
@@ -642,6 +654,8 @@ ergibt.
 Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt
 werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 
+% TODO: elaborate
+
 \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 \[
 \begin{aligned}