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% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
\rhead{Einleitung}
Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville.
Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
\begin{definition}
\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
\end{equation}
als
\begin{equation}
\label{eq:sturm-liouville-equation}
\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0
\end{equation}
geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
\end{definition}
Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden.
\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen.
Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
\begin{equation}
\begin{aligned}
\label{eq:randbedingungen}
k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0.
\end{aligned}
\end{equation}
ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
\subsection{Eigenwertproblem}
Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems.
Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren.
Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
\begin{equation}
\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
\end{equation}
Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y -
dies gilt für das Intervall (a,b).
Somit ergibt die Gleichung
\begin{equation}
\label{eq:skalar-sturm-liouville}
\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
\end{equation}
\subsection{Koeffizientenfunktionen}
Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems.
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%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
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\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden.
\begin{definition}
\label{def:reguläres_sturm-liouville-problem}
\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
\begin{itemize}
\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein.
\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein.
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
\item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
\end{itemize}
\end{definition}
Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen.
\begin{beispiel}
Das Randwertproblem
\begin{equation}
\begin{aligned}
x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
y(a) &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
\begin{itemize}
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
\item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt.
\end{itemize}
\end{beispiel}
Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung eindeutige Ergebnisse hat.
Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der Lösungsfunktion liegen.
Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
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