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Sturmliouville/erik branch

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index ccc2e97..6d21a68 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
@@ -102,7 +102,7 @@ die Sütztstellen so zu wählen, dass $l(x)$ kleine Funktionswerte hat.
 Stützstellen in gleichen Abständen erweisen sich dafür als ungeeignet,
 da $l(x)$ nahe $x_0$ und $x_n$ sehr stark oszilliert.
 
-\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome}
+\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}}
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf}
@@ -199,6 +199,7 @@ T_0(x)=1.
 \end{equation}
 Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden:
 \begin{equation}
+\label{eq:tschebyscheff-polynome}
 \begin{aligned}
 T_0(x)
 &=1
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index ab68377..80bd5f4 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -405,7 +405,7 @@ L
 %
 % Beispiele
 %
-\subsection{Beispiele}
+\subsection{Beispiele\label{sub:beispiele_sturm_liouville_problem}}
 Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich
 als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus.
 Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index fda8be6..85f0bf3 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
 %
 % eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen
+% Author: Erik Löffler
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
@@ -42,7 +43,7 @@ den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
 diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
 Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
-endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass
+endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle Av, w \rangle
     =
@@ -67,8 +68,8 @@ Orthonormalsystem existiert.
 Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
 Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
-des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
-Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
+des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
+Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
 
 Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
 Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 44c3192..babc06d 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -1,29 +1,30 @@
 %
 % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+% Author: Réda Haddouche
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
 \rhead{Einleitung}
 Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville.
-Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
+Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt, welche für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen gilt, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
+Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie zum Beispiel mit dem Separationsansatz.
 
 \begin{definition}
-	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}
+	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
 Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung
-\begin{equation}
+\[
 	\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
-\end{equation}
+\]
 und schreibt die Gleichung um in:
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation}
 	\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 
 \end{equation}
-, diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet.
+, diese Gleichung wird dann Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
 \end{definition}
 
-Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden.
+Alle homogenen, linearen, gewöhnlichen, Differentialgleichungen 2.Ordnung können in die Form der Gleichung~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} gebracht werden.
 Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs}
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
@@ -34,30 +35,30 @@ Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung
 \end{equation}
 kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
 Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
-\begin{equation}
+\[
 	y(a) = y(b) = 0
-\end{equation}
+\]
 , so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn
-\begin{equation}
+\[
 	y'(a) = y'(b) = 0
-\end{equation}
-ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden.
+\]
+ist. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden.
 Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen.
 Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles  konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
 der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
 Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren.
 Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
 Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
-\begin{equation}
-	\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y
-\end{equation}.
+\[
+	\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
+\]
 
 Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y -
 dies gilt für das Intervall (a,b).
 Somit ergibt die Gleichung
-\begin{equation}
-	\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0
-\end{equation}.
+\[
+	\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
+\]
 
 Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
@@ -71,6 +72,7 @@ Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sin
 \subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
 Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden.
 \begin{definition}
+	\label{def:reguläres_sturm-liouville-problem}
 	\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
@@ -89,28 +91,29 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis
 
 
 \subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}}
-Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind.
+Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulären Problems nicht erfüllt sind.
 \begin{definition}
+	\label{def:singulär_sturm-liouville-problem}
 	\index{singuläres Sturm-Liouville-Problem}
-Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn:
+Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem,
 	\begin{itemize}
 		\item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder
 		\item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
-	\begin{equation}
+	\[
 		\begin{aligned}
 		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
 		y(a) &= 0
 		\end{aligned}
-	\end{equation}
+	\]
 	ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-	Weil wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
-	Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+	Weil wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form bringt, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
+	Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
 		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
@@ -120,10 +123,5 @@ Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich be
 
 Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung fundierte Ergebnisse hat.
 Es ist schwierig, bestehende Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z.B. in der Lösungsfunktion liegen.
-Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerte, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten.
+Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerten, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten.
 Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin eine verallgemeinerte Eigenfunktionen.
-
- 
-
-
-
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 54f13d4..e86e742 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -1,7 +1,60 @@
 %
 % tschebyscheff_beispiel.tex
+% Author: Réda Haddouche
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff}
\ No newline at end of file
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgelistet, und zwar mit
+\begin{align*}
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
+	q(x) &= 0.
+\end{align*}
+Da die Sturm-Liouville-Gleichung
+\begin{equation}
+	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
+	\frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 
+\end{equation}
+nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
+\[
+	T_n(x) = \cos n (\arccos x).
+\]
+Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
+\[
+	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
+		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.,
+\]
+jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$.
+
+Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
+Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
+Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
+\[
+\begin{aligned}
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 \\
+	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+\end{aligned} 
+\]
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
+Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
+Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Somit erhält man
+\[
+	\begin{aligned}
+	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
+	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
+\end{aligned}
+\]
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index b22d5f5..7a37b2b 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
 %
-% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. 
+% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab.
+% Author: Erik Löffler
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
@@ -17,7 +18,7 @@ die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
     \frac{\partial u}{\partial t} =
-    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
+    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}},
 \end{equation}
 wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
 
@@ -187,7 +188,8 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 %
 
 \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x}
-Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
+Als erstes wird auf die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
 \[
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
@@ -417,7 +419,7 @@ sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
 In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze
 Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$.
 Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
-Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden.
+Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden.
 Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
 neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und
 $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$
@@ -487,7 +489,7 @@ nahezu alle Terme verschwinden, denn
 \[
     \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     =
-    0
+    0,
 \]
 da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird,
 \[
@@ -611,7 +613,7 @@ Es bleibt also noch
 % Lösung von T(t) 
 %
 
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
+\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Diese wird über das charakteristische Polynom
@@ -627,7 +629,7 @@ Lösung
 \[
     T(t)
     =
-    e^{-\kappa \mu t}
+    e^{\kappa \mu t}
 \]
 führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
 \[
@@ -637,7 +639,7 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution
 \]
 ergibt.
 
-Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt
+Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt
 werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 
 \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}