improve elliptic integrals

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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 1bec096..86b6431 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -414,7 +414,7 @@ Die Ecken auf der reellen Achse liegen bei den reellen Koordinaten
 \]
 Für die Höhe muss das Integral
 \begin{equation}
-l=\int_1^{\frac1{k}}
+l(\frac{1}{k})=\int_1^{\frac1{k}}
 \frac{dt}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}}
 \label{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral}
 \end{equation}
@@ -451,11 +451,20 @@ Mit der Ableitung
 \frac{k'^2 y}{(1-k'^2y^2)^{\frac32}}
 \]
 der Substitution
-wird das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} jetzt zu
+wird das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} mit der
+oberen Grenze $x$ zu einem Integral mit oberer Grenze
+\[
+x^2 = \frac{1}{1-k'^2y_0^2}
+\quad\Rightarrow\quad
+y_0^2 = \frac{1}{k'^2}\biggl(1-\frac{1}{x^2}\biggr)
+\quad\Rightarrow\quad
+y_0=\frac{1}{k'}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}
+\]
+jetzt zu
 \begin{align*}
-l
+l(x)
 &=
-\int_0^1
+\int_0^{y_0}
 \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1-k'^2y^2}-1}}
 \cdot
 \frac{1}{\sqrt{1-\frac{k^2}{1-k'^2y^2}}}
@@ -466,7 +475,7 @@ l
 \,dy
 \\
 &=
-\int_0^1
+\int_0^{y_0}
 \frac{\sqrt{1-k'^2y^2}}{\sqrt{k'^2y^2}}
 \cdot
 \frac{1}{\sqrt{1-k^2 -k'^2y^2}}
@@ -475,7 +484,7 @@ l
 \,dy
 \\
 &=
-\int_0^1
+\int_0^{y_0}
 \sqrt{1-k'^2y^2}
 \cdot
 \frac{1}{k'\sqrt{1-y^2}}
@@ -484,10 +493,19 @@ l
 \,dy
 \\
 &=
-\int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k'^2y^2)}}
+\int_0^{y_0} \frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k'^2y^2)}}
 =
-K(k').
+F(y_0,k')
 \end{align*}
+Die gesuchte Höhe des Rechtecks ergibt sich für die obere Grenze $\frac1k$.
+In diesem Fall ist
+\[
+y_0
+=
+\frac{1}{k'}\sqrt{1-k^2} = 1
+\]
+und das unvollständig elliptische Integral wird zum vollständigen
+elliptischen Integral $K(k')$.
 Die Höhe des Rechtecks des Wertebereichs der oberen Halbebene ist
 als der Wert des vollständigen elliptischen Integrals erster Art
 für den Komplementärmodul.
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp
index 3ece11c..c3f6f1b 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp
@@ -243,6 +243,7 @@ void	curvedrawer::operator()(const curvetracer::curve_t& curve) {
 static struct option	longopts[] = {
 { "outfile",	required_argument,	NULL,	'o' },
 { "k",		required_argument,	NULL,	'k' },
+{ "deltax",	required_argument,	NULL,	'd' },
 { NULL,		0,			NULL,	 0  }
 };
 
@@ -250,13 +251,18 @@ static struct option	longopts[] = {
  * \brief Main function
  */
 int	main(int argc, char *argv[]) {
-	double	k = 0.6;
+	double	k = 0.625;
+	double	deltax = 0.2;
 
 	int	c;
 	int	longindex;
 	std::string	outfilename;
-	while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "o:k:", longopts, &longindex)))
+	while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "o:k:d:", longopts,
+		&longindex)))
 		switch (c) {
+		case 'd':
+			deltax = std::stod(optarg);
+			break;
 		case 'o':
 			outfilename = std::string(optarg);
 			break;
@@ -296,7 +302,7 @@ int	main(int argc, char *argv[]) {
 
 	// "circles"
 	std::complex<double>	dir(0.01, 0);
-	for (double im = 0.2; im < 3; im += 0.2) {
+	for (double im = deltax; im < 3; im += deltax) {
 		std::complex<double>	startz(0, im);
 		std::complex<double>	startw = ct.startpoint(startz);
 		curvetracer::curve_t	curve = ct.trace(startz, dir,
@@ -345,7 +351,28 @@ int	main(int argc, char *argv[]) {
 		(*cdp)(curvetracer::mirrory(curve));
 	}
 
+	// arguments between 1 and 1/k
+	{
+		for (double x0 = 1 + deltax; x0 < 1/k; x0 += deltax) {
+			double	y0 = sqrt(1-1/(x0*x0))/kprime;
+			//std::cout << "y0 = " << y0 << std::endl;
+			double	y = gsl_sf_ellint_F(asin(y0), kprime,
+				GSL_PREC_DOUBLE);
+			std::complex<double>	startz(x0);
+			std::complex<double>	startw(xmax, y);
+			curvetracer::curve_t	curve = ct.trace(startz, dir,
+				startw, 1000);
+			cdp->color("red");
+			(*cdp)(curve);
+			(*cdp)(curvetracer::mirrorx(curve));
+			cdp->color("blue");
+			(*cdp)(curvetracer::mirror(curve));
+			(*cdp)(curvetracer::mirrory(curve));
+		}
+	}
+
 	// argument 1/k
+#if 0
 	{
 		std::complex<double>	startz(1/k);
 		std::complex<double>	startw(xmax, ymax);
@@ -358,6 +385,26 @@ int	main(int argc, char *argv[]) {
 		(*cdp)(curvetracer::mirror(curve));
 		(*cdp)(curvetracer::mirrory(curve));
 	}
+#endif
+
+	// arguments larger than 1/k
+	{
+		double	x0 = 1;
+		while (x0 <= 1/k + 0.0001) { x0 += deltax; }
+		for (; x0 < 4; x0 += deltax) {
+			std::complex<double>	startz(x0);
+			std::complex<double>	startw(gsl_sf_ellint_F(
+				asin(1/(k*x0)), k, GSL_PREC_DOUBLE), ymax);
+		curvetracer::curve_t	curve = ct.trace(startz, dir,
+			startw, 1000);
+		cdp->color("red");
+		(*cdp)(curve);
+		(*cdp)(curvetracer::mirrorx(curve));
+		cdp->color("blue");
+		(*cdp)(curvetracer::mirror(curve));
+		(*cdp)(curvetracer::mirrory(curve));
+		}
+	}
 
 	// border
 	(*cdp->out()) << "\\def\\xmax{" << xmax << "}" << std::endl;
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf
index 5fa07cb..845a550 100644
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