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Sturmliouville/erik-branch

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index 85f0bf3..bef8a39 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -37,31 +37,35 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
 
 \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
 
-Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
 den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
 diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
-Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
-endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadjungiert ist, also dass
+
+Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu 
+zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle Av, w \rangle
     =
     \langle v, Aw \rangle
 \]
-für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
-Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
-Dann wird die Aussage des Spektralsatzes
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für
-Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
+für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
+Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
+Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
 
 Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren 
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}.
-Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
-$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
-Orthonormalsystem existiert.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
+Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
+Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
+Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
+Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
+Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
+also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+falls er selbstadjungiert ist.
 
 \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
 
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 7a37b2b..a72c562 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -20,7 +20,7 @@ die partielle Differentialgleichung
     \frac{\partial u}{\partial t} =
     \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}},
 \end{equation}
-wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
+wobei der Stab in diesem Fall auf der $X$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
 
 Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
 Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
@@ -35,7 +35,7 @@ Tempreatur gehalten werden.
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
 Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen.
-Es folgen nun
+Es folgt nun
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
     u(t,0)
@@ -52,7 +52,7 @@ als Randbedingungen.
 
 \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
 
-Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und
+Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und
 $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
 an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
 
@@ -187,7 +187,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 %   Lösung von X(x), Teil mu
 %
 
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x}
+\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
 Als erstes wird auf die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -473,7 +473,7 @@ berechnet:
     \\
     2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
     =&
-    a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    a_0 \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
         \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
@@ -487,7 +487,7 @@ berechnet:
 Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass
 nahezu alle Terme verschwinden, denn
 \[
-    \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     =
     0,
 \]
@@ -528,10 +528,10 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
     \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi}
     \\
     &=
-    a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + 
+    a_m\frac{l}{m\pi}\biggl(\frac{m\pi}{2} + 
     \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - 
     \frac{-m\pi}{2} -
-    \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right)
+    \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\biggr)
     \\
     &=
     a_m l