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authorErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-21 23:48:29 +0200
committerErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-21 23:48:29 +0200
commit59c0b79063b76b84f64203685bfdb2768a69b984 (patch)
tree365a9bb7476fcc7b4e214651c36b7fcd25b4b2d9 /buch
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SeminarSpezielleFunktionen-59c0b79063b76b84f64203685bfdb2768a69b984.zip
Started revised draft of solution properties.
Diffstat (limited to 'buch')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex64
1 files changed, 52 insertions, 12 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 6085e75..4ab5e62 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -5,11 +5,6 @@
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-
-\section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
-\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
% TODO:
% state goal
% use only what is necessary
@@ -19,16 +14,59 @@
%
% order:
% 1. Eigenvalue problems with matrices
-% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue prolem
-% 3. Sturm-Liouville operator (selfadjacent)
-% 4. Spektralsatz (brief)
+% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem
+% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent)
+% 4. Spectral theorem (brief)
% 5. Base of orthonormal functions
+\section{Eigenschaften von Lösungen
+\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
+\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
+
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
+Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
+zustande kommt.
+Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
+unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind.
+Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
+dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
+geschlossen.
+
+\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen}
+
+Das Eigenwertprobelm
+\[
+ A v
+ =
+ \lambda v
+\]
+für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$
+in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit
+Matrixzerlegungen diskutiert.
+
+Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn
+\[
+ <Av, w>
+ =
+ <v, Aw>
+\]
+gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine
+Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt.
+In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar
+ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
+
+\subsection{}
+
+
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-% \section{OLD: Eigenschaften von Lösungen}
-% \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
-% \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
+\iffalse
+
+\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen
+%\label{sturmliouville:section:solution-properties}
+}
+\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
@@ -102,4 +140,6 @@ Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-Basisfunktionen ist. \ No newline at end of file
+Basisfunktionen ist.
+
+\fi