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authorAlain <mceagle117@gmail.com>2022-08-17 08:10:05 +0200
committerAlain <mceagle117@gmail.com>2022-08-17 08:10:05 +0200
commita5d4cd12216d17c62b6493675aecf453f82c9ea4 (patch)
treed355260dcabacde54de2476d9331c8781ef20c19 /buch
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lösungssachen
Diffstat (limited to 'buch')
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/references.bib24
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex49
2 files changed, 63 insertions, 10 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 494ff7c..40be69a 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -33,3 +33,27 @@
url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
}
+@book{parzyl:whittaker,
+ place={Cambridge},
+ edition={4},
+ series={Cambridge Mathematical Library},
+ title={A Course of Modern Analysis},
+ DOI={10.1017/CBO9780511608759},
+ publisher={Cambridge University Press},
+ author={Whittaker, E. T. and Watson, G. N.},
+ year={1996},
+ collection={Cambridge Mathematical Library}}
+
+@book{parzyl:abramowitz-stegun,
+ added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+ address = {New York},
+ author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.},
+ edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing},
+ interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c},
+ intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f},
+ keywords = {Handbook},
+ publisher = {Dover},
+ timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+ title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
+ year = 1972
+} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index b02a1bf..edc6db0 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -62,7 +62,7 @@ Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
- k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
\end{align}
In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
-Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
\begin{equation}
D_n(z) = \frac{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
@@ -76,7 +76,7 @@ Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
}{
\Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
}
- M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
\end{equation}
welche die Differenzialgleichung
\begin{equation}
@@ -84,18 +84,40 @@ welche die Differenzialgleichung
\end{equation}
löst.
-Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$
+\begin{align}
+ U(a,z) &=
+ \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+ V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+ \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+ \right\}
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+ Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} -
+ {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+ {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
+ {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+ {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+\end{align}
+der Differenzialgleichung
\begin{equation}
- \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0.
+ \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
\end{equation}
+beschrieben.
\begin{align}
U(a,z) &=
- \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
- - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\
- V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left(
- \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
- + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2
- \right)
+ \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+ V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+ \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+ \right\}
\end{align}
mit
\begin{align}
@@ -109,3 +131,10 @@ mit
{2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
\end{align}
+Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+ausgedrückt werden
+\begin{align}
+ U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
+ V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+ \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+\end{align}