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index 64f8d83..fdcb0fc 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -41,13 +41,13 @@ a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
 in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.

 

 \subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}

-Will man einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ finden, braucht man dazu eine Relation der analytischer Funktion $f_i(z)$.

-Nimmt man die Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:

+Wenn es eine Relation analytischer Funktion $f_i(z)$ hat, dann gibt es einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ \cite{0f1:wiki-fraction}. 

+Nimmt man die Gleichung

 \begin{equation*}

 	f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},

 \end{equation*}

 wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.

-Ergibt sich folgender Zusammenhang:

+Ergibt sich der Zusammenhang

 \begin{equation*}

 	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}.

 \end{equation*}

@@ -55,7 +55,7 @@ Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kom
 \begin{equation*}

 	g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}.

 \end{equation*}

-Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich folgendes:

+Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich

 \begin{equation*}

 	g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots

 \end{equation*}

@@ -76,19 +76,19 @@ kann durch Substitution bewiesen werden, dass
 	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z)

 \end{equation*}

 eine Relation dazu ist.

-Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:

+Wenn man für $f_i$ und $k_i$ die Annahme

 \begin{align*}

 	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\

 	k_i	=& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)}

 \end{align*}

-und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:

+trifft und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:

 \begin{equation*}

 	\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.

 \end{equation*}

 

 \subsubsection{Algorithmus}

 Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $	\frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten.

-So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch

+So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} den Kettenbruch

 \begin{equation}

 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}

 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},

@@ -112,7 +112,7 @@ lässt sich zu
 	\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}

 \end{align*}

 umformen.

-Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise

+Dies lässt sich auch durch die Matrizenschreibweise

 \begin{equation*}

 	\begin{pmatrix}

 		A_k\\

@@ -137,7 +137,7 @@ Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
 \begin{equation*}

 	\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}

 \end{equation*}

-an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:

+an, ergibt sich die Matrixdarstellungen:

 

 \begin{align*}

 	\begin{pmatrix}

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 2afc34b..147668a 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -15,9 +15,9 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
 \label{0f1:subsection:konvergenz}}

 Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.

 

-Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.

+Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.

 

-Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr.  

+Ist $z$ negativ, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr.  

 

 

 \subsection{Stabilität