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authorErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-26 15:01:14 +0200
committerErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-26 15:01:14 +0200
commitfefadac123a94fd60a2e20a05e2cf2461f1892d6 (patch)
tree23fe426ce90b90b8079f5fa1941728b05ffd47e4 /buch
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Added reference to modified dot product to solution properties.
Diffstat (limited to 'buch')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex20
1 files changed, 16 insertions, 4 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index fc9c3da..2e3d4fd 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -83,13 +83,25 @@ Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
Operator $L$ genauer betrachtet.
Analog zur Matrix $A$ aus
Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
-$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
+$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist.
+
+Dazu wird das modifizierte Skalarprodukt
+\begin{equation}
+ \label{sturmliouville:eq:modified-dot-product}
+ \langle f, g \rangle_w
+ =
+ \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx
+\end{equation}
+aus Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} verwendet,
+welches auch die Gewichtsfunktion $w(x)$ berücksichtigt.
+Damit $L$ bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert ist, muss also
\[
- \langle L u, v\rangle
+ \langle L u, v\rangle_w
=
- \langle u, L v\rangle
+ \langle u, L v\rangle_w
\]
-gilt.
+gelten.
+
Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
gezeigt, ist dies durch die
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des