aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex24
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex44
2 files changed, 40 insertions, 28 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 4701b8a..b2d01f0 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -22,14 +22,11 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
französischen Mathematiker Joseph Liouville.
Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
entwickelt.
-Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
-jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen
-Differentialgleichungen.
-Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
-Differentialgleichung 2. Ordnung.
+Dieses gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder
+partielle Differentialgleichung.
Wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche
-Differentialgleichungen umwandeln.
+Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in
+mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln.
\begin{definition}
\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
@@ -53,7 +50,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
umgewandelt werden.
Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
\subsection{Randbedingungen
\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
@@ -78,9 +75,9 @@ Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht.
Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben
einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
-im nächsten Kapitel diskutiert.
+im nächsten Abschnitt diskutiert.
%
%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
@@ -131,6 +128,7 @@ Sturm-Liouville-Problem.
\end{itemize}
\end{beispiel}
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere
-Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung
-eindeutig ist.
+Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren.
+Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen
+nicht mehr nur aus Eigenvektoren.
+
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index b247441..5ede99d 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -8,6 +8,13 @@
\subsection{Tschebyscheff-Polynome
\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
+In diesem Unterkapitel wird anhand der
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
+Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
+überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können.
+Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
+kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
+
\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
@@ -35,8 +42,8 @@ Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
erhält man
\begin{equation}
\begin{aligned}
- k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
- k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+ k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\
+ k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0.
\end{aligned}
\end{equation}
Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
@@ -46,17 +53,16 @@ Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
Somit erhält man
\begin{equation}
\begin{aligned}
- k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
- k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0.
+ k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+ k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0.
\end{aligned}
\end{equation}
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können,
damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$,
-die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
-\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
Für das reguläre Problem muss laut der
Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -74,19 +80,27 @@ Die Funktion
p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{equation*}
ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
-
+Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
+die Bedingungen erfüllen.
+Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
\begin{beispiel}
- Die Gleichung
+ In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion
+ illustriert.
+ Dazu verwendet man das Skalarprodukt
\[
- \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0
+ \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
\]
-
- mit
- $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+ Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
ergibt
\[
- \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
+ \begin{aligned}
+ \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
+ \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\
+ &= 0.
+ \end{aligned}
\]
+ Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind.
+ Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden.
\end{beispiel}