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diff --git a/buch/aufgaben1.tex b/buch/aufgaben1.tex index fa75dcf..c6668e5 100644 --- a/buch/aufgaben1.tex +++ b/buch/aufgaben1.tex @@ -5,7 +5,9 @@ % \item -\input chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex +\input chapters/050-differential/uebungsaufgaben/504.tex +\item +\input chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/405.tex %\item %\input chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex %\item diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc index b9cac58..c5887f7 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc @@ -13,4 +13,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/402.tex \ chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex \ chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex \ + chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/405.tex \ chapters/040-rekursion/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex index 0bd8249..165c48e 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex @@ -23,5 +23,6 @@ \uebungsaufgabe{402} \uebungsaufgabe{403} \uebungsaufgabe{401} +\uebungsaufgabe{405} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/405.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/405.tex new file mode 100644 index 0000000..9205121 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/405.tex @@ -0,0 +1,118 @@ +Schreiben Sie die Potenzreihe +\begin{align*} +\arctan x +&= +x +- +\frac{x^3}{3} ++ +\frac{x^5}{5} +- +\frac{x^7}{7} ++ +\dots +\intertext{als} +\arctan x +&= +x\, \biggl( +\frac{1}{2\cdot 0+1}(-x^2)^0 ++ +\frac{1}{2\cdot 1 + 1}(-x^2)^1 ++ +\frac{1}{2\cdot 2 + 1}(-x^2)^2 ++ +\frac{1}{2\cdot 2+1}(-x^2)^3 +\biggr) += +x f(-x^2), +\intertext{mit der Funktion} +f(z) +&= +1 ++\frac{1}{3}z ++\frac{1}{5}z^2 ++\frac{1}{7}z^3 ++\dots += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{1}{2k+1}z^k. +\end{align*} +Schreiben Sie $f(z)$ mit Hilfe der hypergeometrischen Reihe +$\mathstrut_2F_1$. + +\begin{hinweis} +Verwenden Sie dazu +$({\textstyle\frac12})_k$ und +$({\textstyle\frac32})_k$. +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Gemäss dem Hinweis betrachtet man +\begin{align*} +({\textstyle\frac12})_k +&= +\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\frac{2k-1}{2} +\\ +({\textstyle\frac32})_k +&= +\phantom{\frac12\cdot\mathstrut} +\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots +\cdot\frac{2k-1}{2} +\cdot\frac{2k+1}{2}. +\end{align*} +Da beide Pochhammer-Symbole jeweils $k$ Faktoren $2$ im Nenner haben, +kürzen sich diese im Quotienten alle weg. +Der Quotient ist daher +\[ +\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k} += +\frac{1}{2k+1}, +\] +also genau der Nenner, den wir für die Potenzreihe von $f(z)$ brauchen. +Somit ist +\[ +f(z) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}z^k. +\] +Man könnte versucht sein zu schliessen, dass +$f(z)=\mathstrut_1F_1(\frac12;\frac32;z)$ sei, dies ist +aber nicht korrekt, da in der hypergeometrischen Reihe immer +auch ein Nenner $k!$ vorkommt. +Wir brauchen daher einen zusätzlichen Faktor $(a_2)_k$, der +sich gegen $k!$ wegkürzen lässt, oder +\[ +f(z) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}z^k += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(\frac12)_k(a_2)_k}{(\frac32)_k}\frac{z^k}{k!}. +\] +Dies geht natürlich nur, wenn $(a_2)_k=k!$, also $a_2=1$. +Somit ist die gesuchte Funktion +\[ +f(z) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(\frac12)_k(1)_k}{(\frac32)_k} +\frac{z^k}{k!} += +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12,1\\\frac32\end{matrix};z +\biggr). +\] +Damit kann man jetzt den Arkustangens schreiben als +\[ +\arctan x += +x\cdot\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12,1\\\frac32\end{matrix};-x^2 +\biggr). +\qedhere +\] +\end{loesung} + + |