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-rw-r--r--buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex323
-rw-r--r--buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex18
-rw-r--r--buch/papers/zeta/euler_product.tex85
-rw-r--r--buch/papers/zeta/main.tex1
-rw-r--r--buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex56
5 files changed, 404 insertions, 79 deletions
diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index bb95b92..0ccc116 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -1,7 +1,26 @@
\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung}
\rhead{Analytische Fortsetzung}
-%TODO missing Text
+Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant.
+Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte.
+So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$.
+Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
+
+Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt.
+Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$.
+Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
+Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex}
+ \caption{
+ Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion.
+ Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig.
+ Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}.
+ Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$.
+ }
+ \label{zeta:fig:continuation_overview}
+\end{figure}
\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
@@ -14,8 +33,8 @@ Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist.
Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind.
-Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
-Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
+Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
+Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
\begin{align}
\zeta(s)
&=
@@ -26,8 +45,10 @@ Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
\zeta(s)
&=
\sum_{n=1}^{\infty}
- \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
- \\
+ \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
+\end{align}
+Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
+\begin{align}
\left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
\zeta(s)
&=
@@ -36,14 +57,15 @@ Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
+ \frac{1}{3^s}
\underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
\ldots
- && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}}
- \\
- &= \eta(s)
\\
+ &= \eta(s).
+\end{align}
+Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
+\begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
\zeta(s)
- &=
+ :=
\left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
-\end{align}
+\end{equation}
\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz}
Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}.
@@ -54,125 +76,198 @@ Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen
\int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
\end{equation}
Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
-\begin{align}
+\begin{equation}
\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
- &=
+ =
\int_0^{\infty}
(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
x^{\frac{s}{2}-1}
e^{-\pi n^2 x}
- dx
- && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
- \\
+ \,dx.
+\end{equation}
+Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$
+\begin{equation}
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
- &=
+ =
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
e^{-\pi n^2 x}
- dx
- && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
- \\
+ \,dx,
+\end{equation}
+und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
+\begin{equation}
\frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
\zeta(s)
- &=
+ =
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\sum_{n=1}^{\infty}
e^{-\pi n^2 x}
- dx. \label{zeta:equation:integral1}
-\end{align}
+ \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
+\end{equation}
Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
-%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
-Es gilt
+Im Abschnitt \ref{zeta:subsec:poisson_summation} wird die poissonsche Summenformel $\sum f(n) = \sum F(n)$ bewiesen.
+In unserem Problem ist $f(n) = e^{-\pi n^2 x}$ und die zugehörige Fouriertransformation $F(n)$ ist
+\begin{equation}
+ F(n)
+ =
+ \mathcal{F}
+ (
+ e^{-\pi n^2 x}
+ )
+ =
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}.
+\end{equation}
+Dadurch ergibt sich
\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
- \psi(x)
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
=
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}},
+\end{equation}
+wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir $\psi(x)$ erhalten als
+\begin{align}
+ 2
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ +
+ 1
+ &=
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \left(
+ 2
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
+ +
+ 1
+ \right)
+ \\
+ 2
+ \psi(x)
+ +
+ 1
+ &=
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \left(
+ 2
+ \psi\left(\frac{1}{x}\right)
+ +
+ 1
+ \right)
+ \\
+ \psi(x)
+ &=
- \frac{1}{2}
+ \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
- + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
-\end{equation}
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\label{zeta:equation:psi}
+\end{align}
+Diese Gleichung wird später wichtig werden.
Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
\int_0^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
=
+ \underbrace{
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
+ }_{I_1}
+
+ \underbrace{
\int_1^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx,
+ \,dx
+ }_{I_2}
+ =
+ I_1 + I_2,
\end{equation}
-wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden.
-Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
+wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
+Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
\begin{align}
+ I_1
+ =
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
&=
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\left(
- \frac{1}{2}
+ \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
- + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
\right)
- dx
+ \,dx
\\
&=
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
\psi \left( \frac{1}{x} \right)
+ \frac{1}{2}
- \left(
+ \biggl(
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-
x^{\frac{s}{2}-1}
- \right)
- dx
+ \biggl)
+ \,dx
\\
&=
+ \underbrace{
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
\psi \left( \frac{1}{x} \right)
- dx
- + \frac{1}{2}
+ \,dx
+ }_{I_3}
+ +
+ \underbrace{
+ \frac{1}{2}
\int_0^1
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-
x^{\frac{s}{2}-1}
- dx. \label{zeta:equation:integral3}
+ \,dx
+ }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
\end{align}
-Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als
+Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
\begin{equation}
+ I_4
+ =
\frac{1}{2}
\int_0^1
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-
x^{\frac{s}{2}-1}
- dx
+ \,dx
=
\frac{1}{s(s-1)}.
\end{equation}
-Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
+Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
Dies ergibt
\begin{align}
+ I_3
+ =
\int_{\infty}^{1}
- {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \left(
+ \frac{1}{u}
+ \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
\psi(u)
\frac{-du}{u^2}
&=
\int_{1}^{\infty}
- {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \left(
+ \frac{1}{u}
+ \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
\psi(u)
\frac{du}{u^2}
\\
@@ -180,21 +275,23 @@ Dies ergibt
\int_{1}^{\infty}
x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
\psi(x)
- dx,
+ \,dx,
\end{align}
wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
\begin{equation}
+ I_1
+ =
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
=
\int_{1}^{\infty}
x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
+
\frac{1}{s(s-1)}.
\end{equation}
@@ -206,12 +303,12 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
+
\int_1^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
\nonumber
\\
&=
@@ -220,12 +317,12 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
\int_{1}^{\infty}
x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
+
\int_1^{\infty}
x^{\frac{s}{2}-1}
\psi(x)
- dx
+ \,dx
\\
&=
\frac{1}{s(s-1)}
@@ -237,7 +334,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
x^{\frac{s}{2}-1}
\right)
\psi(x)
- dx
+ \,dx
\\
&=
\frac{-1}{s(1-s)}
@@ -249,7 +346,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
x^{\frac{s}{2}}
\right)
\frac{\psi(x)}{x}
- dx,
+ \,dx,
\end{align}
zu erhalten.
Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
@@ -261,4 +358,120 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
\frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
\zeta(1-s).
\end{equation}
+%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
+
+\subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation}
+
+Der Beweis für Gleichung \ref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
+Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
+
+\begin{lemma}
+ Die Fourierreihe der periodischen Dirac Delta Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
+ \begin{equation} \label{zeta:equation:fourier_dirac}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \delta(x - 2\pi k)
+ =
+ \frac{1}{2\pi}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ e^{i n x}.
+ \end{equation}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+ Eine Fourierreihe einer beliebigen periodischen Funktion $f(x)$ berechnet sich als
+ \begin{align}
+ f(x)
+ &=
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ c_n
+ e^{i n x} \\
+ c_n
+ &=
+ \frac{1}{2\pi}
+ \int_{-\pi}^{\pi}
+ f(x)
+ e^{-i n x}
+ \, dx.
+ \end{align}
+ Wenn $f(x)=\delta(x)$ eingesetz wird ergeben sich konstante Koeffizienten
+ \begin{equation}
+ c_n
+ =
+ \frac{1}{2\pi}
+ \int_{-\pi}^{\pi}
+ \delta(x)
+ e^{-i n x}
+ \, dx
+ =
+ \frac{1}{2\pi},
+ \end{equation}
+ womit die sehr einfache Fourierreihe der Dirac Delta Funktion berechnet wäre.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Poissonsche Summernformel]
+ Die Summe einer Funktion $f(n)$ über alle ganzen Zahlen $n$ ist äquivalent zur Summe ihrer Fouriertransformation $F(k)$ über alle ganzen Zahlen $k$
+ \begin{equation}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ f(n)
+ =
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ F(k).
+ \end{equation}
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis]
+ Wir schreiben die Summe über die Fouriertransformation aus
+ \begin{align}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ F(k)
+ &=
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \int_{-\infty}^{\infty}
+ f(x)
+ e^{-i 2\pi x k}
+ \, dx
+ \\
+ &=
+ \int_{-\infty}^{\infty}
+ f(x)
+ \underbrace{
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ e^{-i 2\pi x k}
+ }_{\text{\eqref{zeta:equation:fourier_dirac}}}
+ \, dx,
+ \end{align}
+ und verwenden die Fouriertransformation der Dirac Funktion aus \eqref{zeta:equation:fourier_dirac}
+ \begin{align}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ e^{-i 2\pi x k}
+ &=
+ 2 \pi
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \delta(-2\pi x - 2\pi k)
+ \\
+ &=
+ \frac{2 \pi}{2 \pi}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \delta(x + k).
+ \end{align}
+ Wenn wir dies einsetzen und erhalten wir den gesuchten Beweis für die poissonsche Summenformel
+ \begin{equation}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ F(k)
+ =
+ \int_{-\infty}^{\infty}
+ f(x)
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \delta(x + k)
+ \, dx
+ =
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \int_{-\infty}^{\infty}
+ f(x)
+ \delta(x + k)
+ \, dx
+ =
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ f(k).
+ \end{equation}
+\end{proof}
diff --git a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..836ab1d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
@@ -0,0 +1,18 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=0.9cm, scale=2,
+ dot/.style={fill, circle, inner sep=0, minimum size=0.1cm}]
+
+ \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (0.5,0) node[anchor=north west]{$0.5$}-- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{$\Re(s)$};
+
+ \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{$\Im(s)$};
+ \begin{scope}[yscale=0.1]
+ \draw[] (1,-1) -- (1,1);
+ \end{scope}
+ \draw[dotted] (0.5,-1) -- (0.5,1);
+
+ \begin{scope}[]
+ \fill[opacity=0.2, red] (-1.8,1) rectangle (0, -1);
+ \fill[opacity=0.2, blue] (0,1) rectangle (1, -1);
+ \fill[opacity=0.2, green] (1,1) rectangle (1.8, -1);
+ \end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
new file mode 100644
index 0000000..a6ed512
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+\section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt}
+\rhead{Eulerprodukt}
+
+Das Eulerprodukt stellt die Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her.
+Diese Verbindung ist sehr wichtig, da durch sie eine Aussage zur Primzahlverteilung gemacht werden kann.
+Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche eines der grössten ungelösten Probleme der Mathematik ist.
+
+\begin{satz}
+ Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt
+ \begin{equation}\label{zeta:eq:eulerprodukt}
+ \zeta(s)
+ =
+ \sum_{n=1}^\infty
+ \frac{1}{n^s}
+ =
+ \prod_{p \in P}
+ \frac{1}{1-p^{-s}}
+ \end{equation}
+ wobei $P$ die Menge aller Primzahlen darstellt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+ Der Beweis startet mit dem Eulerprodukt und stellt dieses so um, dass die Zetafunktion erscheint.
+ Als erstes ersetzen wir die Faktoren durch geometrische Reihen
+ \begin{equation}
+ \prod_{i=1}^{\infty}
+ \frac{1}{1-p^{-s}}
+ =
+ \prod_{p \in P}
+ \sum_{k_i=0}^{\infty}
+ \left(
+ \frac{1}{p_i^s}
+ \right)^{k_i}
+ =
+ \prod_{p \in P}
+ \sum_{k_i=0}^{\infty}
+ \frac{1}{p_i^{s k_i}},
+ \end{equation}
+ dabei iteriert der Index $i$ über alle Primzahlen $p_i$.
+ Durch Ausschreiben der Multiplikation und Ausklammern der Summen erhalten wir
+ \begin{align}
+ \prod_{p \in P}
+ \sum_{k_i=0}^{\infty}
+ \frac{1}{p_i^{s k_i}}
+ &=
+ \sum_{k_1=0}^{\infty}
+ \frac{1}{p_1^{s k_1}}
+ \sum_{k_2=0}^{\infty}
+ \frac{1}{p_2^{s k_2}}
+ \ldots
+ \nonumber \\
+ &=
+ \sum_{k_1=0}^{\infty}
+ \sum_{k_2=0}^{\infty}
+ \ldots
+ \left(
+ \frac{1}{p_1^{k_1}}
+ \frac{1}{p_2^{k_2}}
+ \ldots
+ \right)^s.
+ \label{zeta:equation:eulerprodukt2}
+ \end{align}
+ Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann
+ \begin{equation}
+ n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}.
+ \end{equation}
+ Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$.
+ Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir
+ \begin{equation}
+ \sum_{k_1=0}^{\infty}
+ \sum_{k_2=0}^{\infty}
+ \ldots
+ \left(
+ \frac{1}{p_1^{k_1}}
+ \frac{1}{p_2^{k_2}}
+ \ldots
+ \right)^s
+ =
+ \sum_{n=1}^\infty
+ \frac{1}{n^s}
+ =
+ \zeta(s)
+ \end{equation}
+\end{proof}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex
index e0ea8e1..caddace 100644
--- a/buch/papers/zeta/main.tex
+++ b/buch/papers/zeta/main.tex
@@ -11,6 +11,7 @@
%TODO Einleitung
\input{papers/zeta/einleitung.tex}
+\input{papers/zeta/euler_product.tex}
\input{papers/zeta/zeta_gamma.tex}
\input{papers/zeta/analytic_continuation.tex}
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index 59c8744..db41676 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -1,38 +1,46 @@
-\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
-\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion}
+\section{Zusammenhang mit der Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
-Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her.
+In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ ist nicht nur interessant, er wird später auch für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
-%TODO ref Gamma
-Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion
-\begin{align}
+Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+\begin{equation*}
+ \Gamma(s)
+ =
+ \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} \,dt,
+\end{equation*}
+wobei die Notation an die Zetafunktion angepasst ist.
+Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus
+\begin{align*}
\Gamma(s)
&=
- \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt
- \\
+ \int_0^{\infty} n^{s-1}u^{s-1} e^{-nu} n \,du \\
&=
- \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du
- &&
- \text{Division durch }n^s
- \\
+ \int_0^{\infty} n^s u^{s-1} e^{-nu} \,du.
+\end{align*}
+Durch Division mit durch $n^s$ ergibt sich die Quotienten
+\begin{equation*}
\frac{\Gamma(s)}{n^s}
- &=
- \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du
- &&
- \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
- \\
+ =
+ \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu} \,du,
+\end{equation*}
+welche sich zur Zetafunktion summieren
+\begin{equation}
+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+ =
\Gamma(s) \zeta(s)
- &=
+ =
\int_0^{\infty} u^{s-1}
\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
- du.
+ \,du.
\label{zeta:equation:zeta_gamma1}
-\end{align}
+\end{equation}
Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
\begin{align}
- \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n}
+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
&=
- \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n}
+ \sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
-
1
\\
@@ -42,12 +50,12 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal
&=
\frac{1}{e^u - 1}.
\end{align}
-Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir den gewünschten Zusammenhang
\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
\zeta(s)
=
\frac{1}{\Gamma(s)}
\int_0^{\infty}
\frac{u^{s-1}}{e^u -1}
- du.
+ du \qed
\end{equation}