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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index 1f42ade..3b72ffa 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -432,9 +432,10 @@ Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} offensichtlichen Regeln: \begin{satz}[Permutationsregel] +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:permuationsregel} Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist -\[ +\begin{equation} \mathstrut_pF_q\biggl( \begin{matrix} a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q @@ -448,13 +449,15 @@ a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)} \end{matrix} ;x \biggr). -\] +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:permuationsregel} +\end{equation} \end{satz} \begin{satz}[Kürzungsformel] +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel} Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$ überein, dann können sie weggelassen werden: -\[ +\begin{equation} \mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( \begin{matrix} c,a_1,\dots,a_p\\ @@ -470,7 +473,8 @@ b_1,\dots,b_q \end{matrix}; x \biggr). -\] +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel} +\end{equation} \end{satz} % @@ -613,19 +617,25 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion = \mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x). \] -Mit der Newtonschen Binomialreihe +Mit der Newtonschen Binomialreihe, die in +Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe} +hergleitet wird, +kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion \begin{align*} (1+x)^\alpha &= 1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots -\\ -&= +%\\ +%& += \sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k = \mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr) \end{align*} -kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken. +Dieses Resultat ist der Inhalt von +Satz~\ref{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe} + % % Logarithmusfunktion @@ -725,7 +735,7 @@ x f(-x^2). Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben werden. Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden: -\[ +\begin{equation*} f(z) = 1 @@ -737,7 +747,7 @@ f(z) \frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!} + \dots -\] +\end{equation*} Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden. Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte @@ -777,15 +787,27 @@ müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren: (1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k \end{align*} Setzt man dies in die Reihe ein, wird -\[ +\begin{equation} f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k} z^k = -\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr). -\] +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4 +\biggr) += +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4 +\biggr). +\label{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf} +\end{equation} +Im letzten Schritt wurde die Kürzungsregel +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel} +von +Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel} +angewendet. Damit lässt sich die Sinus-Funktion als \begin{equation} \sin x @@ -812,21 +834,24 @@ auf die Funktion \sinh x &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} -\\ -&= +%\\ +%& += x \, \biggl( 1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots \biggr) -\\ +\intertext{Die Reihe in der Klammer lässt sich mit der Funktion +$f$ von \eqref{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf} +schreiben als} &= -xf(-x^2) -= -x\,\mathstrut_1F_2\biggl( -\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} -;\frac{x^2}{4} -\biggr) +x\,f(-x^2) +%= +%x\cdot\mathstrut_1F_2\biggl( +%\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} +%;\frac{x^2}{4} +%\biggr) = x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( \begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix} @@ -1030,7 +1055,7 @@ Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als \frac{1}{(\frac12)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k = -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4\biggr) \end{align*} geschrieben werden kann. @@ -1039,16 +1064,22 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher \frac{d}{dx} \cos x &= \frac{d}{dx} -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) = \frac{1}{\frac12} \, -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) \cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr) = -x \cdot -\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4 +\biggr) \intertext{Dies stimmt mit der in \eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex index f9d014e..5d76598 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex @@ -1,5 +1,5 @@ Finden Sie einen einfachen Ausdruck für $(\frac12)_n$, der nur -Fakultäten und andere elmentare Funktionen verwendet. +Fakultäten und andere elementare Funktionen verwendet. \begin{loesung} Das Pochhammer-Symbol $(\frac12)_n$ kann wie folgt durch bekanntere diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex index 2d95fb2..e6613dd 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex @@ -176,7 +176,8 @@ b_2\,2!\,a_{2+k} + b_1\, a_{1+k} + b_0\, a_k % % Die Newtonsche Reihe % -\subsection{Die Newtonsche Reihe} +\subsection{Die Newtonsche Reihe +\label{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}} Wir lösen die Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} mit der Anfangsbedingung $y(t)=1$ mit der Potenzreihenmethode. @@ -333,6 +334,7 @@ wir die Darstellung Damit haben wir den folgenden Satz gezeigt. \begin{satz} +\label{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe} Die Newtonsche Reihe für $(1-t)^\alpha$ ist der Wert \[ (1-t)^\alpha |