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-rw-r--r--buch/papers/kra/Makefile.inc11
-rw-r--r--buch/papers/kra/anwendung.tex (renamed from buch/papers/kra/hamilton.tex)70
-rw-r--r--buch/papers/kra/einleitung.tex14
-rw-r--r--buch/papers/kra/loesung.tex47
-rw-r--r--buch/papers/kra/main.tex10
-rw-r--r--buch/papers/kra/riccati.tex93
6 files changed, 131 insertions, 114 deletions
diff --git a/buch/papers/kra/Makefile.inc b/buch/papers/kra/Makefile.inc
index f453e6e..a521e4b 100644
--- a/buch/papers/kra/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/kra/Makefile.inc
@@ -4,11 +4,10 @@
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
dependencies-kra = \
- papers/kra/packages.tex \
+ papers/kra/packages.tex \
papers/kra/main.tex \
- papers/kra/references.bib \
- papers/kra/teil0.tex \
- papers/kra/teil1.tex \
- papers/kra/teil2.tex \
- papers/kra/teil3.tex
+ papers/kra/references.bib \
+ papers/kra/einleitung.tex \
+ papers/kra/loesung.tex \
+ papers/kra/anwendung.tex \
diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
index 14a5e8c..4d4d351 100644
--- a/buch/papers/kra/hamilton.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -1,19 +1,47 @@
+\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}}
+\rhead{Anwendungen}
\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
-\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}}
-\rhead{Teil abc}
+Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter.
+Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können.
+
+\subsection{Feder-Masse-System}
+Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
+Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$.
+Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
+Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass
+
+\begin{equation*}
+ k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}
+\end{equation*}
+Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung
+\begin{equation}
+ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
+\end{equation}
+
+
+\begin{figure}
+ \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
+ \caption{Einfaches Feder-Masse-System.}
+ \label{kra:fig:simple_mass_spring}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
+ \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
+ \label{kra:fig:multi_mass_spring}
+\end{figure}
+
\subsection{Hamilton-Funktion}
Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
-$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$,
-wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
+$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
-Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass},
-setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
+Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
\begin{equation}
- \label{hamilton}
+ \label{kra:harmonischer_oszillator}
\begin{split}
\mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
&= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
@@ -54,7 +82,7 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also
\end{pmatrix}
\]
-Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen.
+Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
@@ -129,6 +157,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
Q \\
P \\
\end{pmatrix}
+ =
\underbrace{
\begin{pmatrix}
0 & M \\
@@ -141,7 +170,25 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
\end{pmatrix}
\end{equation}
-
+\subsection{Phasenraum}
+Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt.
+Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
+
+\subsubsection{Harmonischer Oszillator}
+Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
+\begin{equation*}
+ q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi)
+\end{equation*}
+die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
+Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
+
+\begin{figure}
+ \input{papers/kra/images/phase_space.tex}
+ \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
+ \label{kra:fig:phasenraum}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
@@ -181,5 +228,8 @@ Mit einsetzten folgt
\end{split}
\end{equation}
-was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt.
+was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt.
+
+\subsection{Fazit}
+% @TODO
diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..1a347a8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,14 @@
+\section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung}
+\rhead{Einleitung}
+Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichunge erster Ordnung der form
+\begin{equation}
+ \label{kra:riccati}
+ y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
+\end{equation}
+Sie ist bennant nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.
+Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichugen der Form
+\begin{equation}
+ \label{kra:matrixriccati}
+ \dot{U}(t) = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) % +Q ?
+\end{equation}
+bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse ähnlichkeit aufweisen. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
new file mode 100644
index 0000000..ece0f15
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
+\rhead{Lösungsmethoden}
+% @TODO Lösung normal riccati
+Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}.
+
+
+% Lösung matrix riccati
+Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+\begin{equation}
+ \label{kra:matrixriccati-solution}
+ \begin{pmatrix}
+ X(t) \\
+ Y(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \Phi(t_0, t)
+ \begin{pmatrix}
+ I(t) \\
+ U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
+ \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ I(t) \\
+ U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+ U(t) =
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ ^{-1}
+\end{equation}
+
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
+
+\begin{equation}
+ \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
+\end{equation}
diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex
index 456b6ee..a84ebaf 100644
--- a/buch/papers/kra/main.tex
+++ b/buch/papers/kra/main.tex
@@ -3,12 +3,12 @@
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
-\chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}}
-\lhead{Kalman, Riccati und Abel}
+\chapter{Riccati Differentialgleichung\label{chapter:kra}}
+\lhead{Riccati Differentialgleichung}
\begin{refsection}
\chapterauthor{Samuel Niederer}
- \input{papers/kra/hamilton.tex}
- \newpage
- \input{papers/kra/riccati.tex}
+ \input{papers/kra/einleitung.tex}
+ \input{papers/kra/loesung.tex}
+ \input{papers/kra/anwendung.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex
deleted file mode 100644
index df2921d..0000000
--- a/buch/papers/kra/riccati.tex
+++ /dev/null
@@ -1,93 +0,0 @@
-\section{Riccati
- \label{kra:section:riccati}}
-\rhead{Riccati}
-
-\begin{equation}
- y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
-\end{equation}
-% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung)
-% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?)
-% matrix riccati gleichung
-
-
-Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form
-\begin{equation}
- \label{kra:riccati:riccatiequation}
- \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t)
-\end{equation}
-
-Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation}
-
-\begin{equation}
- \label{kra:riccati:derivation}
- \dt
- \begin{pmatrix}
- X \\
- Y
- \end{pmatrix}
- =
- \underbrace{
- \begin{pmatrix}
- A & B \\
- C & D
- \end{pmatrix}
- }_{H}
- \begin{pmatrix}
- X \\
- Y
- \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten
-
-\begin{align*}
- \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\
- & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1}) \\
- & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1}) \\
- & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\
- & = C + DU - UA - UBU
-\end{align*}
-
-was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt.
-Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
-\begin{equation}
- \begin{pmatrix}
- X(t) \\
- Y(t)
- \end{pmatrix}
- =
- \Phi(t_0, t)
- \begin{pmatrix}
- I(t) \\
- U_0(t)
- \end{pmatrix}
- =
- \begin{pmatrix}
- \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
- \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
- \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}
- I(t) \\
- U_0(t)
- \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
- U(t) =
- \begin{pmatrix}
- \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
- \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}
- \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
- \end{pmatrix}
- ^{-1}
-\end{equation}
-
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
-
-\begin{equation}
- \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
-\end{equation}
-
-
-