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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 86b6431..67891f2 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -329,7 +329,7 @@ $\pm 1/\sqrt{n}$ XXX Additionstheoreme \\ XXX Parameterkonventionen \\ -XXX Wertebereich (Rechtecke) \\ + \subsubsection{Wertebereich} Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen haben nur positive relle Werte. @@ -414,7 +414,7 @@ Die Ecken auf der reellen Achse liegen bei den reellen Koordinaten \] Für die Höhe muss das Integral \begin{equation} -l(\frac{1}{k})=\int_1^{\frac1{k}} +l({\textstyle\frac{1}{k}})=\int_1^{\frac1{k}} \frac{dt}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}} \label{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} \end{equation} @@ -523,6 +523,52 @@ in das blaue. \label{buch:elliptisch:fig:rechteck}} \end{figure} +\subsubsection{Reelle Argument $> 1/k$} +Für Argument $x> 1/k$ sind beide Faktoren im Integranden des +unvollständigen elliptischen Integrals negativ, das Integral kann +daher wieder als gewöhnliches reelles Integral berechnet werden, +es sollte sich daher auch auf das unvollständige elliptische Integral +erster Art zurückführen lassen. + +Da wir bereits wissen, dass +\[ +\lim_{x\to\infty} F(x,k) = iK(k'), +\] +können wir $F(x,k)$ auch als +\[ +F(x,k) += +iK(k') +- +\int_x^\infty \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} +\] +berechnen. +Dazu werden wir die Variablentransformation +\[ +y=\frac{1}{kt}\quad\Leftrightarrow\quad t=\frac{1}{ky} +\qquad\text{mit}\qquad +\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{ky^2} +\] +auf das Integral an und erhalten +\begin{align*} +\int_x^\infty \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} +&= +-\int_{\frac1{kx}}^0 \frac{dy}{ky^2\sqrt{(1-1/(ky)^2)(1-1/y^2)}} +\\ +&= +\int_0^{\frac{1}{kx}} \frac{dy}{\sqrt{(k^2y^2-1)(y^2-1)}} += +F\biggl(\frac{1}{kx},k\biggr). +\end{align*} +Dies ist das gesuchte unvollständige elliptische Integral erster Art. +Insbesondere halten wir noch die Formel +\[ +F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr) +\qquad\text{für $x>\frac1k$} +\] +für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte +fest. + \subsection{Potenzreihe} XXX Potenzreihen \\ XXX Als hypergeometrische Funktionen \\ |