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diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex index cf57698..ae7127f 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt al Der Rest soll dabei unverändert passieren. Aus dem Tiefpassifilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden. Ein solches Filter hat idealerweise die Frequenzantwort -\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega} +\begin{equation} H(\Omega) = \begin{cases} 1 & \Omega < \Omega_p \\ @@ -32,7 +32,7 @@ Aus diesem Grund sind realisierbare Approximationen gesucht. Jede Approximation wird einen kontinuierlichen Übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen. Oft wird dabei der Faktor $1/\sqrt{2}$ als Schwelle zwischen den beiden Bereichen gewählt. Somit lassen sich lineare Tiefpassfilter mit folgender Funktion zusammenfassen: -\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega} +\begin{equation} | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}, \end{equation} wobei $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, $|F_N(w)| \leq 1 ~\forall~ |w| \leq 1$ erfüllt und für $|w| \geq 1$ möglichst schnell divergiert. diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex index 89a2d7a..67bcca0 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Elliptische rationale Funktionen} -Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \ref{ellfilter:bib:orfanidis} +Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis} \begin{align} R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\ &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ @@ -80,7 +80,7 @@ k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg), \quad \text{wobei} \quad N = 2L+r. \end{equation} -Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. +Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. % \begin{figure} % \centering diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex index fae6b31..567bbcc 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex @@ -1,7 +1,5 @@ \section{Jacobische elliptische Funktionen} -%TODO $z$ or $u$ for parameter? - Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits deutet, elliptische Funktionen gebraucht. Wie die trigonometrischen Funktionen Zusammenhänge eines Kreises darlegen, beschreiben die elliptischen Funktionen Ellipsen. Es ist daher naheliegend, dass Kosinus des Tschebyscheff-Filters mit einem elliptischen Pendant ausgetauscht werden könnte. @@ -29,15 +27,6 @@ Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art 1-k^2 \sin^2 \theta } } - % = - % \int_{0}^{\phi} - % \frac{ - % dt - % }{ - % \sqrt{ - % (1-t^2)(1-k^2 t^2) - % } - % } %TODO which is right? are both functions from phi? \end{equation} mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung gebracht werden. @@ -170,7 +159,7 @@ Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$. Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$. Ab diesem Punkt knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab. Bei $t = 1/k$ ist auch der zweite Term negativ und die Funktion verläuft in die negative reelle Richtung. -Abbildung \label{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex} @@ -180,7 +169,7 @@ Abbildung \label{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplex } \label{ellfilter:fig:sn} \end{figure} -In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplemenäre vollständige Elliptische Integral ist: +In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplementäre vollständige Elliptische Integral ist: \begin{equation} K^\prime(k) = |