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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex index 67d5148..694f18a 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex @@ -267,15 +267,21 @@ Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist = \alpha \dot{X}(t(\tau)) -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{1}{\alpha^2}\frac{dY}{d\tau} +\quad\Rightarrow\quad +\frac{1}{\alpha}\frac{dY}{d\tau} = -\dot{X}(t(\tau)). +\dot{X}(t(\tau)) +\quad\Rightarrow\quad +\frac{1}{\alpha^2}\biggl(\frac{dY}{d\tau}\biggr)^2 += +\dot{X}(t(\tau))^2. \] Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist \[ -\frac{2mk^2}{\delta x_+^2\alpha^2} +\frac{2m}{\delta x_+^2\alpha^2} +\biggl( \frac{dY}{d\tau} +\biggr)^2 = (1-Y^2)(1-k^2Y^2). \] @@ -283,7 +289,7 @@ Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man \[ \alpha^2 = -\frac{2mk^2}{\delta x_+^2} +\frac{2m}{\delta x_+^2} \] wählt. Diese Differentialgleichug hat die Lösung @@ -299,9 +305,9 @@ x(t) x_- X(t) = x_- \operatorname{sn}\biggl( -t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2mk^2} } +t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2m} } ,k -\biggr) +\biggr). \end{align*} Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als \[ |