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-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil1.tex34
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diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index b46ed12..fa7deb1 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -15,21 +15,20 @@ Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel bet
%\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten)
%\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}}
Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen.
-Wir verwenden die hergeleiteten Gleichungen für Startbedingung im ersten Quadranten
+Wir verwenden die hergeleiteten Gleichungen \eqref{lambertw:eqFunkXNachT} für Startbedingung im ersten Quadranten
\begin{align*}
x\left(t\right)
&=
- \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
- y(x)
+ x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
+ y(t)
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
\chi
&=
\frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\\
\eta
&=
- \left(\frac{x}{x_0}\right)^2
- \\
+ \left(\frac{x}{x_0}\right)^2\\
r_0
&=
\sqrt{x_0^2+y_0^2} \text{.}\\
@@ -68,29 +67,28 @@ und der Verfolger durch
&=
x(t)
=
- \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
+ x_0\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
\\
- v \cdot t
+ t
&=
y(t)
=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right)
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)
\\
\end{align*}
%
, welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet.
-Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden.
-Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
-Die Gleichung
-
+Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt
\begin{equation}
- 0
- =
- W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+ 0
+ =
+ W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+ \text{.}
\end{equation}
%
-entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
+Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
+Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
\begin{equation*}
W(0)=0
@@ -167,3 +165,5 @@ Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage u
+
+