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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex index a003fcb..994f99f 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex @@ -105,6 +105,7 @@ Für $|z|<1$ geht $z^n\to 0$ für $n\to\infty$, die Partialsummen konvergieren und wir erhalten das Resultat des folgenden Satzes. \begin{satz} +\index{Satz!geometrische Reihe}% \label{buch:polynome:satz:geometrischereihe} Die geometrische Reihe $a+az+az^2+\dots$ konvergiert für $|z|<1$ und hat die Summe @@ -124,6 +125,7 @@ als konvergent erkannten Reihen nachweisbar. Dies ist der Inhalt des folgenden, wohlbekannten Majorantenkriteriums. \begin{satz}[Majorantenkriterium] +\index{Satz!Majorantenkriterium}% \label{buch:polynome:satz:majorantenkriterium} \index{Majorantenkriterium} Seien $a_k$ und $b_k$ die Glieder zweier unendlicher Reihen. @@ -142,6 +144,7 @@ Potenzreihen mit der geometrischen Reihe zu vergleichen und liefert damit einfach anzuwende Kriterien für die Konvergenz. \begin{satz}[Quotientenkriterium] +\index{Satz!Quotientenkriterium}% \label{buch:polynome:satz:quotientenkriterium} \index{Quotientenkriterium}% Eine Reihe @@ -175,6 +178,7 @@ die unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert. \end{proof} \begin{satz}[Wurzelkriterium] +\index{Satz!Wurzelkriterium}% \label{buch:polynome:satz:wurzelkriterium} \index{Wurzelkriterium} Falls @@ -203,6 +207,9 @@ das Reststück der Reihe ab Index $N$ ist daher wieder majorisiert durch eine konvergente geometrische Reihe. \end{proof} +% +% Konvergenzradius +% \subsubsection{Konvergenzradius} Das Quotienten- und das Wurzel-Kriterium ist auf beliebige Reihen anwendbar, es berücksichtigt nicht, dass in einer Potenzreihe @@ -224,6 +231,7 @@ um den Punkt $z_0$ ist \end{definition} \begin{satz} +\index{Satz!Konvergenzradius}% \label{buch:polynome:satz:konvergenzradius} Der Konvergenzradius $\varrho$ einer Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ ist @@ -420,7 +428,7 @@ $z_0$ ist die Summe \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k \label{buch:polynome:eqn:taylor-polynom} \end{equation} -\index{Taylor-Reihe} +\index{Taylor-Reihe}% Die {\em Taylor-Reihe} der Funktion $f(z)$ ist die Reihe \begin{equation} \mathscr{T}_{z_0}f (z) @@ -431,7 +439,9 @@ Die {\em Taylor-Reihe} der Funktion $f(z)$ ist die Reihe \end{equation} \end{definition} - +% +% Analytische Funktionen +% \subsubsection{Analytische Funktionen} Das Taylor-Polynom $\mathscr{T}_{z_0}^nf(z)$ hat an der Stelle $z_0$ die gleichen Funktionswerte und Ableitungen wie die Funktion $f(z)$, |