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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex index ca6100b..29d1d4b 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex @@ -16,6 +16,10 @@ zum Beispiel beim Design von Filtern in der Elektronik. Nach dem Satz von Weierstrass~\ref{buch:potenzen:satz:weierstrass} lässt sich jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall durch ein Polynom approximieren. +Interpolation kann zur Konstruktion solcher approximierender Polynome +verwendet werden, wie die folgenden Abschnitte zeigen sollen. +Die Optimierung des Approximationsfehlers führt auf die Spezifikation +einer interessanten Familie von Polynomen. \subsubsection{Lagrange-Interplationspolynome} Eine mögliche Lösung des Problems, solche approximierenden Polynome @@ -66,6 +70,7 @@ Für $j\ne k$ enthält der Zähler von $l_j(x_k)$ den Faktor $(x-x_k)$, der für $x=x_k$ verschwindet. Daher verschwindet auch $l_j(x)$ für $x=x_k$. +\index{Lagrange-Interpolationspolynom}% Das sogenannte {\em Lagrange-Interpolationspolynom} ist das Polynom \[ p(x) @@ -132,6 +137,7 @@ bekannt, dass die Kosinus eines Vielfachen des Winkels immer als Polynom des Kosinus des Winkels dargestellt werden können. \begin{definition} +\index{Tschebyscheff-Polynom}% \label{buch:potenzen:def:tschebyscheff} Das Polynom \[ @@ -166,6 +172,7 @@ orthogonaler Polynome sind. Mit der Abkürzung $y=\arccos(x)$ oder $x=\cos(y)$ bekommt man aus der Definition~\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff} der Tschebyscheff-Polynome +\index{Drei-Term-Rekursion!für Tschebyscheff-Polynome} \begin{align*} xT_n(x) &= @@ -183,7 +190,11 @@ x\,T_n(x) Auflösen nach $T_{n+1}(x)$ ergibt \begin{equation} T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), -\quad T_1(x)=x, T_0(x)=1 +\quad +\text{mit Startwerten} +\quad T_1(x)=x, +\quad +T_0(x)=1. \label{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion} \end{equation} Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden: @@ -233,6 +244,7 @@ sehr effizient zu berechnen. \subsubsection{Multiplikationsformel} Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten. +\index{Multiplikationsformel}% \begin{satz} Es gilt |