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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc index 27ccdae..87afe38 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc @@ -8,6 +8,7 @@ CHAPTERFILES += \ chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex \ chapters/010-potenzen/polynome.tex \ chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex \ + chapters/010-potenzen/rational.tex \ chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex \ chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex \ chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/102.tex \ diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex index 7dc30d4..2628e33 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex @@ -40,6 +40,7 @@ Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert. \input{chapters/010-potenzen/polynome.tex} \input{chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex} \input{chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex} +\input{chapters/010-potenzen/rational.tex} \input{chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex} \section*{Übungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex new file mode 100644 index 0000000..a5612e9 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/rational.tex @@ -0,0 +1,60 @@ +% +% rational.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Rationale Funktionen +\label{buch:polynome:section:rationale-funktionen}} +\rhead{Rationale Funktionen} +Polynome sind sehr einfach auszuwerten und können auf einem +Interval jede stetige Funktion beliebig gut approximieren. +Auf einem unbeschränkten Definitionsbereich wachsen Polynome aber +immer unbeschränkt an. +Der führende Term $a_nx^n$ dominiert das Verhalten eines Polynoms +für $x\to\infty$ wegen +\[ +\lim_{x\to\infty} a_nx^n += +\sign a_n \cdot\infty +\qquad\text{und}\qquad +\lim_{x\to-\infty} a_nx^n += +(-1)^n \sign a_n\cdot \infty. +\] +Insbesondere kann man nicht erwarten, dass sich eine beschränkte +Funktion wie $\sin x$ durch Polynome auf dem ganzen Definitionsbereich +gut approximieren lässt. +Der Unterschied $p(x)-\sin x$ wird für jedes beliebige Polynome $p(x)$ +für $x\to\pm\infty$ unbeschränkt anwachsen. + +Eine weitere Einschränkung ist, dass die Menge der Polynome bezüglich +der arithmetischen Operationen nicht abgeschlossen ist. +Man kann zwar Polynome addieren und multiplizieren, aber der Quotient +ist nicht notwendigerweise ein Polynome. +Abhilfe schafft nur, wenn man Quotienten von Polynomen zulässt. + +\begin{definition} +Eine Funktion $f(x)$ heisst {\em rationale Funktion}, wenn sie Quotient +\index{rationale Funktion}% +zweier Polynome ist, wenn es also Polynome $p(x), q(x)\in K[x]$ gibt mit +\[ +f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}. +\] +Die Menge der rationalen Funktione mit Koeffizienten in $K$ wird mit +$K(x)$ bezeichnet. +\end{definition} + +Polynome sind rationale Funktionen, deren Nennergrad $1$ ist. +Rationale Funktionen können ebenfalls zur Approximation von Funktionen +verwendet werden. +Da sie beschränkt sein können, haben sie das Potential, +beschränkte Funktionen besser zu approximieren, als dies mit +Polynomen allein möglich wäre. +Die Theorie der Padé-Approximation, wie sie zum Beispiel im Buch +\cite{buch:pade} dargestellt ist, ist zum Beispiel auch in der +Regelungstechnik von Interesse, da sich rationale Funktionen mit +linearen Komponenten schaltungstechnisch realisieren lassen. +Weitere Anwendungen werden in Kapitel~\ref{chapter:transfer} +gezeigt. + + |