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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc index 0bf775f..d4940dc 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex \ chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex \ chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex \ diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex index f3f1d39..24fc089 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex @@ -32,6 +32,7 @@ der Strahlensatz muss durch den Satz von Menelaos ersetzt werden. Es ergibt sich eine Methode, beliebige Dreiecke auf einer Kugeloberfläche ganz analog zum Vorgehen bei ebenen Dreiecken zu berechnen. Diese sphärische Trigonometrie ist die Basis der Navigation +(siehe Kapitel~\ref{chapter:nav}) und aller astrometrischer Berechnungen. Die Analysis hat die Möglichkeit geschaffen, die Länge von Kurven @@ -42,7 +43,7 @@ wie die Berechnung der Länge von Ellipsen- oder Hyperbelbögen auf die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren. \input{chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex} -\input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex} +%\input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex} \input{chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex} \input{chapters/030-geometrie/laenge.tex} \input{chapters/030-geometrie/flaeche.tex} @@ -54,5 +55,6 @@ die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren. %\uebungsaufgabe{0} \uebungsaufgabe{1} \uebungsaufgabe{2} +\uebungsaufgabe{3} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex index 72c2cb4..d2d0da2 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex @@ -163,9 +163,9 @@ In der speziellen Relativitätstheorie spielt das Minkowski-Skalarprodukt eine besondere Rolle. Die Koordinaten $x_0$ hat darin die Bedeutung der Zeit, man weiss aus Experimenten wie dem Michelson-Morley-Experiment, -dass die Grösse $\langle x,x\rangle$ ist eine Invariante ist. +dass die Grösse $\langle x,x\rangle$ eine Invariante ist. Die Transformationen mit der Matrix $A$ beschreiben also zulässige -Koordinatentransformationenn, die Invariante erhalten. +Koordinatentransformationen, die Invariante erhalten. Für Transformationen, die zusätzlich die Zeitrichtung erhalten sollen, muss $a_{00}=a_{11}=c>0$ verlangt werden. @@ -174,7 +174,7 @@ muss $a_{00}=a_{11}=c>0$ verlangt werden. Unter der Annahme $c>0$ lässt sich die Matrix vollständig durch den Parameter $t=s/c$ beschreiben. Dividiert man \eqref{buch:geometrie:hyperbolish:eqn:cs} durch $c^2$, -kann $c$ durch $t$ ausdrücken: +kann man $c$ durch $t$ ausdrücken: \[ \frac{1}{c^2} = @@ -199,10 +199,10 @@ H_t t&1 \end{pmatrix}. \] -Diese Formeln erinnern natürlich and die Formeln, mit denen +Diese Formeln erinnern natürlich an die Formeln, mit denen der hyperbolische Sinus und Kosinus aus dem hyperbolischen -Tangens berechnet werden kann. -Dieser Zusammenhang und soll im nächsten Abschnitt hergestellt +Tangens berechnet werden können. +Dieser Zusammenhang soll im nächsten Abschnitt hergestellt werden. % @@ -355,6 +355,7 @@ heissen der {\em hyperbolische Tangens} und der {\em hyperbolische Kotangens}. \end{definition} \begin{satz} +\index{Satz!hyperbolische Gruppe}% \label{buch:geometrie:hyperbolisch:Hparametrisierung} Die orientierungserhaltenden $2\times 2$-Matrizen, die das Minkowski-Skalarprodukt invariant lassen und die Zeitrichtung diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf Binary files differindex 0b514eb..d708377 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex index c38dc19..a194190 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex @@ -41,6 +41,7 @@ \fill[color=blue] (\a:\r) circle[radius=0.05]; \draw[color=blue,line width=1.4pt] (\r,0) -- (\r,{\r*tan(\a)}); +\fill[color=blue] (\r,{\r*tan(\a)}) circle[radius=1.0pt]; \node[color=blue] at (\r,{0.5*\r*tan(\a)}) [right] {$\tan\alpha$}; \draw[color=blue,line width=0.4pt] ({\r*cos(\a)},0) -- (\a:\r); @@ -53,6 +54,7 @@ \draw[color=blue] (-0.1,{\r*sin(\a)}) -- (0.1,{\r*sin(\a)}); \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) -- ({\r/tan(\a)},\r); +\fill[color=blue] ({\r/tan(\a)},\r) circle[radius=1.0pt]; \node[color=blue] at ({0.5*\r/tan(\a)},\r) [above] {$\cot\alpha$}; \draw[color=darkgreen,line width=1pt] (0,0) -- (\b:\r); @@ -61,9 +63,11 @@ \fill[color=darkgreen] (\b:\r) circle[radius=0.05]; \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,\r) -- ({\r/tan(\b)},\r); +\fill[color=darkgreen] ({\r/tan(\b)},\r) circle[radius=1.0pt]; \node[color=darkgreen] at ({0.5*\r/tan(\b)},\r) [above] {$\cot\beta$}; \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) -- (\r,{\r*tan(\b)}); +\fill[color=darkgreen] (\r,{\r*tan(\b)}) circle[radius=1.0pt]; \node[color=darkgreen] at (\r,{0.5*\r*tan(\b)}) [right] {$\tan\beta$}; \draw[color=darkgreen,line width=0.4pt] (\b:\r) -- (0,{\r*sin(\b)}); diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex index dc1f46a..643c8f2 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex @@ -167,11 +167,11 @@ und umgekehrt: \[ \sin\alpha = -\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut} +\sqrt{1-{\cos\mathstrut\!}^2\,\alpha\mathstrut} \qquad\text{und}\qquad \cos\alpha = -\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut} +\sqrt{1-{\sin\mathstrut\!}^2\,\alpha\mathstrut} \] Da sich alle Funktionen durch $\cos\alpha$ und $\sin\alpha$ ausdrücken lassen, können alle auch nur durch eine ausgedrückt werden. @@ -197,7 +197,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\frac{\sqrt{\csc^2\alpha-1}}{\csc\alpha} \\ \cos\alpha - &\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut} + &\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut} &\cos\alpha &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} &\displaystyle\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}} @@ -205,7 +205,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\frac{1}{\csc\alpha} \\ \tan\alpha - &\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}} + &\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}}{\cos\alpha} &\tan\alpha &\displaystyle\frac{1}{\cot\alpha} @@ -213,7 +213,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\sqrt{\csc^2\alpha-1} \\ \cot\alpha - &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}}{\sin\alpha} + &\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}}{\sin\alpha} &\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{1}{\tan\alpha} &\cot\alpha @@ -229,7 +229,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist. &\displaystyle\frac{\csc\alpha}{\sqrt{\csc^2\alpha-1}} \\ \csc\alpha - &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}} + &\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}} &\displaystyle\frac{1}{\cos\alpha} &\displaystyle\sqrt{1+\tan^2\alpha} &\displaystyle\frac{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}{\cot\alpha} @@ -394,6 +394,7 @@ D_{\alpha}D_{\beta} Aus dem Vergleich der beiden Matrizen liest man die Additionstheoreme. \begin{satz} +\index{Satz!Drehmatrizen}% Für $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gilt \begin{align*} \sin(\alpha\pm\beta) diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex new file mode 100644 index 0000000..6a501fb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex @@ -0,0 +1,169 @@ +\def\cas{\operatorname{cas}} +Die Funktion $\cas$ definiert durch +$\cas x = \cos x + \sin x$ hat einige interessante Eigenschaften. +Wie die gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen $\sin x$ und $\cos x$ +ist $\cas x$ $2\pi$-periodisch. +Die Ableitung und das Additionstheorem benötigen bei den gewöhnlichen +trigonometrischen Funktionen aber beide Funktionen, im Gegensatz zu den +im folgenden hergeleiteten Formeln, die nur die Funktion $\cas x$ brauchen. +\begin{teilaufgaben} +\item +Drücken Sie die Ableitung von $\cas x$ allein durch Werte der +$\cas$-Funktion aus. +\item +Zeigen Sie, dass +\[ +\cas x += +\sqrt{2} \sin\biggl(x+\frac{\pi}4\biggr) += +\sqrt{2} \cos\biggl(x-\frac{\pi}4\biggr). +\] +\item +Beweisen Sie das Additionstheorem für die $\cas$-Funktion +\begin{equation} +\cas(x+y) += +\frac12\bigl( +\cas(x)\cas(y) + \cas x\cas (-y) + \cas(-x)\cas(y) -\cas(-x)\cas(-y) +\bigr) +\label{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition} +\end{equation} +\end{teilaufgaben} +Youtuber Dr Barker hat die Funktion $\cas$ im Video +{\small\url{https://www.youtube.com/watch?v=bn38o3u0lDc}} vorgestellt. + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die Ableitung ist +\[ +\frac{d}{dx}\cas x += +\frac{d}{dx}(\cos x + \sin x) += +-\sin x + \cos x += +\sin(-x) + \cos(-x) += +\cas(x). +\] +\item +Die Additionstheoreme angewendet auf die trigonometrischen Funktionen +auf der rechten Seite ergibt +\begin{align*} +\sin\biggl(x+\frac{\pi}4\biggr) +&= +\sin x \cos\frac{\pi}4 + \cos x \sin\frac{\pi}4 +&&& +\cos\biggl(x-\frac{\pi}4\biggr) +&= +\cos(x)\cos\frac{\pi}4 -\sin x \sin\biggl(-\frac{\pi}4\biggr) +\\ +&= +\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x ++ +\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x +&&& +&= +\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x ++ +\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x +\\ +&=\frac{1}{\sqrt{2}} \cas x +&&& +&= +\frac{1}{\sqrt{2}} \cas x. +\end{align*} +Multiplikation mit $\sqrt{2}$ ergibt die behaupteten Relationen. +\item +Substituiert man die Definition von $\cas(x)$ auf der rechten Seite von +\eqref{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition} und multipliziert aus, +erhält man +\begin{align*} +\eqref{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition} +&= +{\textstyle\frac12}\bigl( +(\cos x + \sin x) +(\cos y + \sin y) ++ +(\cos x + \sin x) +(\cos y - \sin y) +\\ +&\qquad ++ +(\cos x - \sin x) +(\cos y + \sin y) +- +(\cos x - \sin x) +(\cos y - \sin y) +\bigr) +\\ +&= +\phantom{-\mathstrut} +{\textstyle\frac12}\bigl( +\cos x\cos y ++ +\cos x\sin y ++ +\sin x\cos y ++ +\sin x\sin y +\\ +& +\phantom{=-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(}\llap{$\mathstrut +\mathstrut$} +\cos x\cos y +- +\cos x\sin y ++ +\sin x\cos y +- +\sin x\sin y +\\ +& +\phantom{=-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(}\llap{$\mathstrut +\mathstrut$} +\cos x\cos y ++ +\cos x\sin y +- +\sin x\cos y +- +\sin x\sin y +\bigr) +\\ +& +\phantom{=} +-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl( +\cos x\cos y +- +\cos x\sin y +- +\sin x\cos y ++ +\sin x\sin y +\bigr) +\\ +&= \cos x \cos y ++ +\cos x \sin y ++ +\sin x \cos y +- +\sin x \sin y. +\intertext{Die äussersten zwei Terme passen zum Additionstheorem für den +Kosinus, die beiden inneren Terme dagegen zum Sinus. +Fasst man sie zusammen, erhält man} +&= +(\sin x\cos y + \cos x \sin y) ++ +(\cos x\cos y - \sin x \sin y) +\\ +&= +\sin (x+y) + \cos(x+y) += +\cas(x+y). +\end{align*} +Damit ist das Additionstheorem für die Funktion $\cas$ bewiesen. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} |