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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 9bbbd13..407be66 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -692,13 +692,26 @@ geschrieben werden:} &= \frac{(x+y)_n}{(y)_n} \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. -\intertext{Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den +\end{align*} +Wir halten dieses Zwischenresultat für spätere Verwendung fest. + +\begin{lemma} +\label{buch:rekursion:gamma:betareklemma} +Für $n\in\mathbb{N}$ gilt +\[ +B(x,y+n) = \frac{(y)_n}{(x+y)_n} B(x,y). +\] +\end{lemma} + +Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren $1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein. Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in das Integral. -So ergibt sich} +So ergibt sich +\begin{align*} +B(x,y) &= \frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} \frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} |