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--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
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+% gamma.tex -- Abschnitt über die Gamma-funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Die Gamma-Funktion
+\label{buch:rekursion:section:gamma}}
+Die Fakultät $x!$ kann rekursiv durch 
+\[
+	x! = x\cdot (x-1)! \qquad\text{und}\qquad 0!=1
+\]
+für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden.
+Äquivalent damit ist eine Funktion 
+\begin{equation}
+\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)
+\qquad\text{und}\qquad 
+\Gamma(1)=1.
+\label{buch:rekursion:eqn:gammadef}
+\end{equation}
+Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die
+Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef}
+erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt?
+
+\subsection{Integralformel für die Gamma-Funktion}
+Euler hat die folgende Integraldefinition der Gamma-Funktion gegeben.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:rekursion:def:gamma}
+Die Gamma-Funktion ist die Funktion 
+\[
+\Gamma
+\colon
+\{z\in\mathbb{C} \mid \operatorname{Re}z>0\}
+\to \mathbb{C}
+:
+z
+\mapsto
+\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\]
+\end{definition}
+
+Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine
+Potenzreihenentwicklung um einen Punkt $x_0$ auf der positiven reellen
+Achse kann also höchstens den Konvergenzradius $\varrho=|x_0|$ haben.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf}
+\caption{Graph der Gamma-Funktion $z\mapsto\Gamma(z)$ und der alternativen
+Funktion $\Gamma(z)+\sin(\pi z)$, die für ganzzahlige Argumente ebenfalls
+die Werte der Fakultät annimmt.
+\label{buch:rekursion:fig:gamma}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Alternative Lösungen}
+Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen
+Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt.
+Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle
+natürlichen Zahlen verschwindet, also $f(n)=0$ für $n\in\mathbb{N}$,
+erhält man eine weitere Funktion, die auf natürlichen Zahlen
+die Werte der Fakultät annimmt.
+Ein Beispiel einer solchen Funktion ist
+\begin{equation}
+z\mapsto f(z)=\Gamma(z) + \sin \pi z,
+\label{buch:rekursion:eqn:gammaalternative}
+\end{equation}
+die Funktion $f(z)=\sin\pi z$ verschwindet sogar auf allen ganzen
+Zahlen.
+
+In Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} ist die Gamma-Funktion
+in rot geplotet, die Funktion~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammaalternative}
+in grün.
+Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen
+gemeinsam.
+
+\subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$}
+Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als
+auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt.
+Der Wert für $z=1$ ist
+\begin{align*}
+\Gamma(1)
+&=
+\int_0^\infty t^{1-1}e^{-t}\,dt
+=
+\left[ -e^{-t} \right]_0^\infty
+=
+1.
+\end{align*}
+Für die Rekursionsformel kann mit Hilfe von partieller Integration
+bekommen:
+\begin{align*}
+\Gamma(z+1)
+&=
+\int_0^\infty t^{z+1-1}e^{-t}\,dt
+=
+\biggl[-t^{z}e^{-t}\biggr]_0^\infty
++
+\int_0^\infty z t^{z-1}e^{-t}\,dt
+\\
+&=
+z
+\int_0^\infty
+t^{z-1}e^{-t}\,dt
+=
+z \Gamma(z).
+\end{align*}
+
+Für $0<z<\varepsilon$ für eine $\varepsilon >0$ folgt aus der 
+Funktionalgleichung
+\[
+\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1+z)}{z}.
+\]
+Da $\Gamma(1)=1$ ist und $\Gamma$ eine in einer
+Umgebung von $1$ stetige Funktion ist, kann sie in der Form
+\(
+\Gamma(1+z)=\Gamma(1) + zf(z)
+\)
+schreiben, wobei  $f(z)$ eine differenzierbare Funktion ist mit
+$f'(1)=\Gamma'(1)$.
+Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck
+\[
+\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1)}{z} + f(z) = \frac{1}{z} + f(z).
+\]
+Die Gamma-Funktion hat daher and er Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
+
+\subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
+Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
+Durch analytische Fortsetzung, wie sie im
+Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
+beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt
+werden, mit Ausnahme einzelner Pole.
+Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$,
+für die $\Gamma(z)$ definiert ist.
+In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
+\[
+\Gamma(z)
+=
+\frac{\Gamma(z+1)}{z}
+=
+\frac{\Gamma(z+2)}{z(z+1)}
+=
+\frac{\Gamma(z+3)}{z(z+1)(z+2)}
+=
+\dots
+=
+\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}
+\]
+Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der
+Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
+Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung.
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den
+nicht negativen ganzen Zahlen.
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