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@@ -200,6 +200,7 @@ ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die
 Reihe beschriebenen Funktionen zu machen.
 
 \begin{definition}
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg}
 Eine durch die Reihe
 \[
 f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
@@ -218,9 +219,13 @@ wenn also
 mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist.
 \end{definition}
 
+%
+% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen}
 Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe,
 wobei $p(k)/q(k)=1$ ist.
-Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe
+Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, die durch die Taylor-Reihe
 \[
 e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
 \]
@@ -263,7 +268,30 @@ eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$.
 Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass
 $\cos x = f(x^2)$ ist.
 
-Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
+%
+% Die hypergeometrischen Funktione pFq
+%
+\subsubsection{Die hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_pF_q$}
+Die Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg}
+einer hypergeometrischen Funktion wie auch die Verschiedenartigkeit
+der Beispiele kännen den Eindruck vermitteln, dass die diese Klasse
+von Funktionen unübersichtlich gross sein könnte.
+Dem ist jedoch nicht so.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass alle hypergeometrischen
+Funktionen durch die in
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} definierten
+Funktionen $\mathstrut_pF_q$ ausgedrückt werden.
+Die hypergeometrischen Funktionen können also vollständig parametrisiert
+werden.
+
+Zu diesem Zweick sie
+\[
+f(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
+\]
+eine hypergeometrische Funktion und
+seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
 \[
 \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}.
 \]
@@ -299,12 +327,12 @@ Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind
 und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also
 die Polynome als
 \begin{align*}
-p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
+p(k) &= s(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
 \\
 q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m)
 \end{align*}
 schreiben kann.
-Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
+Der Faktor $s$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
 notwendigerweise normiert sind.
 
 Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment
@@ -314,14 +342,14 @@ Dann ist nach
 \[
 a_{k}
 =
-x^{k}
+s^{k}
 \frac{
 (k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1)
 }{
 (k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1)
 }
 =
-\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k.
+\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} s^k.
 \]
 Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen
 geschrieben werden.
@@ -331,13 +359,16 @@ von der Form
 a_k
 =
 \frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
-x^ka_0.
+s^ka_0.
 \]
-Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form
+Jede hypergeometrische Funktion kann daher in der Form
 \[
+f(x)
+=
 a_0
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
+s^k
 x^k
 \]
 geschrieben werden.
@@ -371,9 +402,10 @@ zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen
 kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$
 erhöht.
 
-Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als
+Die oben analysierte Summe für $f(x)$ kann mit der
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} als
 \[
-S
+f(x)
 =
 a_0
 \cdot
@@ -381,11 +413,69 @@ a_0
 \begin{matrix}
 -a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\
 -b_1,-b_2,\dots,-a_m
-\end{matrix}; x
+\end{matrix}; sx
 \biggr)
 \]
 beschrieben werden.
 
+%
+% Elementare Rechenregeln
+%
+\subsubsection{Elementare Rechenregeln}
+Die Funktionen $\mathstrut_pF_q$ sind nicht alle unabhängig.
+In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}
+wird gezeigt werden, dass Ableitung und Stammfunktion einer hypergeometrischen
+Funktion durch Manipulation der Parameter $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden
+können.
+Viel einfacher sind jedoch die folgenden, aus
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def}
+offensichtlichen Regeln:
+
+\begin{satz}[Permutationsregel]
+Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine
+beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist 
+\[
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q
+\end{matrix}
+;x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)}
+\end{matrix}
+;x
+\biggr).
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Kürzungsformel]
+Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$
+überein, dann können sie weggelassen werden:
+\[
+\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl(
+\begin{matrix}
+c,a_1,\dots,a_p\\
+c,b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};
+x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_{p}F_{q}\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};
+x
+\biggr).
+\]
+\end{satz}
+
+%
+% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+%
 \subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
 \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}}
 Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen
@@ -393,6 +483,9 @@ lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von
 Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken.
 In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben.
 
+%
+% Die geometrische Reihe
+%
 \subsubsection{Die geometrische Reihe}
 In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht
 daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren.
@@ -410,6 +503,9 @@ a\sum_{k=0}^\infty
 a\cdot\mathstrut_1F_0(1,x).
 \]
 
+%
+% Die Exponentialfunktion
+%
 \subsubsection{Exponentialfunktion}
 Die Exponentialfunktion ist die Reihe
 \[
@@ -421,7 +517,10 @@ benötigt, es ist daher
 e^x = \mathstrut_0F_0(x).
 \]
 
-\subsubsection{Wurzelfunktion}
+%
+% Wurzelfunktionen
+%
+\subsubsection{Wurzelfunktionen}
 Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung
 in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe
 \[
@@ -510,11 +609,27 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion
 \sqrt{1\pm x}
 =
 \sum_{k=0}^\infty
-\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!}
+\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(\pm x)^k}{k!}
 =
 \mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x).
 \]
+Mit der Newtonschen Binomialreihe
+\begin{align*}
+(1+x)^\alpha
+&=
+1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k
+=
+\mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr)
+\end{align*}
+kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion
+durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken.
 
+%
+% Logarithmusfunktion
+%
 \subsubsection{Logarithmusfunktion}
 Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe
 \[
@@ -581,7 +696,9 @@ x\cdot
 \mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr).
 \]
 
-
+%
+% Trigonometrische Funktionen
+%
 \subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
 \index{trigonometrische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}%
 Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt,
@@ -684,6 +801,9 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \end{equation}
 durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken.
 
+%
+% Hyperbolische Funktionen
+%
 \subsubsection{Hyperbolische Funktionen}
 \index{hyperbolische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}%
 Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch
@@ -718,6 +838,9 @@ ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$.
 Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als
 ``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen.
 
+%
+% Tschebyscheff-Polynome
+%
 \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome}
 \index{Tschebyscheff-Polynome}%
 Man kann zeigen, dass auch die Tschebyscheff-Polynome sich durch die
@@ -762,12 +885,38 @@ Der Grad des Polynoms ist der kleinste Betrag der negativ ganzzahligen
 Werte unter den Parametern $a_k$.
 
 %
+% Die Funktionen 0F1
+%
+\subsubsection{Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf}
+\caption{Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1(;\alpha;x)$ für
+verschiedene Werte von $\alpha$.
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1}}
+\end{figure}
+Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$ sind in den Beispielen mit der
+beschränkten trigonometrischen Funktion $\sin x$ und mit der
+exponentiell unbeschränkten Funktion $\sinh x$ mit dem gleichen
+Wert des Parameters und nur einem Wechsel des Vorzeichens des
+Arguments verbunden worden.
+Die Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1$, die in 
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1} dargestellt sind,
+machen dieses Verhalten plausibel.
+Es wird sich später zeigen, dass $\mathstrut_0F_1$ auch mit den Bessel-
+und den Airy-Funktionen verwandt sind.
+
+
+%
 % Ableitung und Stammfunktion
 %
-\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen}
+\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}}
 Sowohl Ableitung wie auch Stammfunktion einer hypergeometrischen
 Funktion lässt sich immer durch hypergeometrische Reihen ausdrücken.
-
+%
+% Ableitung
+%
 \subsubsection{Ableitung}
 Wir gehen aus von der Funktion
 \begin{equation}
@@ -909,6 +1058,9 @@ Funktion $\mathstrut_0F_1$ überein, es ist also wie erwartet}
 \end{align*}
 \end{beispiel}
 
+%
+% Stammfunktion
+%
 \subsubsection{Stammfunktion}
 Eine Stammfunktion kann man auf die gleiche Art und Weise wie
 die Ableitung finden.