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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex index a747ecb..b1ac897 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex @@ -2,10 +2,43 @@ Finden Sie eine Formel für $\Gamma(\frac12+n)$ für $n\in\mathbb{N}$. \begin{loesung} Die Funktionalgleichung für die Gamma-Funktion bedeutet -\[ +\begin{align*} \Gamma({\textstyle\frac12}+n) -= +&= ({\textstyle\frac12}+n-1) \Gamma({\textstyle\frac12}+n-1) +\\ +&= +({\textstyle\frac12}+n-1) +({\textstyle\frac12}+n-2) +\Gamma({\textstyle\frac12}+n-2) +\\ +&= +({\textstyle\frac12}+n-1) +({\textstyle\frac12}+n-2) +\dots +({\textstyle\frac12}) +\cdot +\Gamma({\textstyle\frac12}) +\\ +&= +\Gamma({\textstyle\frac12}) +\cdot +({\textstyle\frac12}) +\dots +({\textstyle\frac12}+n-1) += +\Gamma({\textstyle\frac12})\cdot ({\textstyle\frac12})_n += +\sqrt{\pi\mathstrut}\cdot ({\textstyle\frac12})_n. +\end{align*} +Mit dem Resultat von Aufgaben~\ref{404} kann jetzt das Pochhammer-Symbol +durch bekanntere Funktionen dargestellt und somit der +gesuchte $\Gamma$-Funktionswert als +\[ +\Gamma({\textstyle\frac12}+n) += +\frac{(2n)!\cdot \sqrt{\pi\mathstrut}}{n!\cdot 2^{2n}} \] +geschrieben werden. \end{loesung} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex new file mode 100644 index 0000000..f9d014e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex @@ -0,0 +1,36 @@ +Finden Sie einen einfachen Ausdruck für $(\frac12)_n$, der nur +Fakultäten und andere elmentare Funktionen verwendet. + +\begin{loesung} +Das Pochhammer-Symbol $(\frac12)_n$ kann wie folgt durch bekanntere +Funktionen dargestellt werden: +\begin{align*} +({\textstyle\frac12})_n +&= +\frac12 +\biggl(\frac12 + 1\biggr) +\biggl(\frac12 + 2\biggr) +\dots +\biggl(\frac12 + n-1\biggr) +\\ +&= +\frac12\cdot +\frac32\cdot +\ldots +\cdot +\frac{2n-1}2 +\\ +&= +\frac{ +1\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (2n-1) +}{ +2^n +} +\\ +&= +\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}\cdot\frac{1}{2^n} += +\frac{(2n)!}{n!\cdot 2^{2n}}. +\qedhere +\end{align*} +\end{loesung} |