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diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index 13880b8..5cf15b5 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -218,7 +218,7 @@ y_1(x) = \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^\alpha \sum_{k=0}^\infty -\frac{(-1)^k}{\Gamma(\alpha+k+1)} +\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\alpha+k+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k}. \] Dabei haben wir es durch @@ -233,7 +233,7 @@ J_{\alpha}(x) = \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^\alpha \sum_{k=0}^\infty -\frac{(-1)^k}{\Gamma(\alpha+k+1)} +\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\alpha+k+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k} \] heisst {\em Bessel-Funktionen der Ordnung $\alpha$}. @@ -247,14 +247,14 @@ Die Summe beginnt also erst bei $k=n$ oder \begin{align*} J_{-n}(x) &= -\sum_{k=n}^\infty \frac{(-1)^k}{m!k!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k-n} +\sum_{k=n}^\infty \frac{(-1)^k}{m!\,k!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k-n} = \sum_{l=0}^\infty -\frac{(-1)^{l+n}}{m!(l+n)!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2(l+n)-n} +\frac{(-1)^{l+n}}{m!\,(l+n)!}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2(l+n)-n} = (-1)^n \sum_{l=0}^\infty -\frac{(-1)^l}{m!\Gamma(l+n+1)}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2l+n} +\frac{(-1)^l}{m!\,\Gamma(l+n+1)}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2l+n} \\ &= (-1)^n @@ -283,7 +283,7 @@ Die erzeugende Funktion der Bessel-Funktionen ist die Summe \sum_{n\in\mathbb{Z}} {\color{darkred} \sum_{k=0}^\infty -\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+n+1)} +\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+n+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k+n} } z^n. @@ -296,7 +296,7 @@ Wir schreiben $m=k+n$ und drücken alle Terme durch $k$ und $m$ aus:} &= \sum_{n\in \mathbb{Z}} \sum_{k=0}^\infty -\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(n+k+1)} +\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(n+k+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^k \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{n+k} z^{n+k} |